4. Зв’язок між потенціальною енергією та силою. Потенціал поля.

За означенням роботи (див. (7.2)): . З іншого боку в полі консервативних сил: (див.(7.12)) Прирівняємо праві частини цих виразів:

. Врахуємо, що :

З останнього співвідношення випливає рівність підінтегральних виразів:

.

Розглянувши переміщення вздовж однієї вісі, наприклад OX, одержимо:

, звідки: . Вираз справа – це частинна похідна:

Аналогічно для осей OY та OZ:

.

Для вектора :

,

(7.16)

де координатні орти.

Вираз в дужках називають градієнтом скалярної функції U:

(7.17)

Таким чином, зв'язок між потенціальною енергією частинки і силою, що на неї діє в полі, дає вираз (7.17): сила дорівнює взятому зі знаком мінус градієнту потенціальної енергії частинки в даній точці поля.

Градієнт позначають також знаком («набла»): де означає символічний вектор або оператор:

, який називають оператором Гамільтона.

Поділимо (7.17) на масу точки m: .

Відношення – це напруженість гравітаційного поля; відношення називають потенціалом гравітаційного поля в точці, радіус-вектор якої дорівнює . Отже:

(7.18)

Враховуючи наведене раніше означення потенціальної енергії, можна дати й інше означення потенціалу:

Потенціалом даної точки гравітаційного поля називають відношення роботи переносу точкового тіла масою m з даної точки в нульову до маси цього тіла:

(7.19)

Якщо гравітаційне поле створюється точковою масою, то:

(7.20)

В (7.20) нульовий рівень потенціальної енергії обрано в нескінченності.

Як і у випадку потенціальної енергії однозначно визначена лише різниця потенціалів точок 1 і 2:

(7.21)

звідки:

Якщо гравітаційне поле створене декількома матеріальними точками, то потенціал цього поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів, які створені окремими м.т.:

(7.22)

Лінії, дотичні до яких визначають напруженість гравітаційного поля, називають лініями напруженості або силовими лініями гравітаційного поля.

Поверхні, точки яких мають однаковий потенціал, називають еквіпотенціальними поверхнями.

З виразу (7.18)одержуємо: ; оскільки вздовж еквіпотенціальної поверхні дорівнює нулю, то вектор перпендикулярний до еквіпотенціальної поверхні (рис. 7.11).

Використовуючи вищенаведене, можна так визначити фізичний смисл :

– це вектор, направлений по нормалі до еквіпотенціальної поверхні в сторону зростання потенціальної енергії U.

Оскільки , то напруженість гравітаційного поля направлена в сторону зменшення потенціалу.

5. Закон збереження енергії в консервативній системі.

Згідно з теоремою про кінетичну енергію сума робіт всіх сил, що діють на матеріальну точку, дорівнює приросту кінетичної енергії цієї м.т.:

(7.10)

З іншого боку робота консервативних сил дорівнює зміні потенціальної енергії, взятій з протилежним знаком:

(7.12)

Для консервативних сил праві частини рівностей (7.10) і (7.12) можна прирівняти:

.

Після перетворень одержимо:

(7.23)

Сума кінетичної та потенціальної енергії системи називається повною механічною енергією Е:

K + U = E

Отже, в ізольованій консервативній системі повна механічна енергія залишається сталою. Можуть відбуватися лише перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки, а повний запас енергії системи змінитись не може.

Це положення (і рівняння (7.23)) називають законом збереження механічної енергії.

Оскільки кінетична енергія завжди додатна ( ), то повна енергія завжди більша потенціальної: . Це співвідношення визначає межі зміни координат системи, в яких вона може перебувати при заданій повній енергії Е. Там, де U > E , система перебувати не може. Наведемо приклад для одномірного руху м.т. вздовж вісі OX. Потенціальна енергія м.т. є функцією від x: . Графік цієї функції називають потенціальною кривою (рис. 7.12). Якщо повна енергія частинки , то вона може рухатись або в зоні між (здійснювати коливання), або правіше . Перейти ж з першої зони в другу частинка не може: цьому заважає потенціальний бар’єр BNC, що розділяє ці зони. Частину потенціальної кривої AMB називають потенціальною ямою для цієї частинки.

Зону AB називають областю фінітного руху, зону - областю інфінітного руху м.т. з енергією Е₁. Інакше веде себе частинка з енергією Е₂: для неї доступна вся область правіше координати . Якщо в початковий момент часу частинка перебувала в точці з координатою , то далі вона буде рухатись вправо; її кінетична енергія буде зростати до т М, потім зменшуватись до т N і далі зростатиме.