19. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называются  операции сложения и вычитания векторов и  умножения вектора на число.  1)   

2)     

3)  -длину вектора умножить на  и оставить направление вектора если 

Таким образом операции обладают св-ми.

1)

2)

Вектор у которого начало и конец совпадают есть нулевой вектор 

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Вычитание- обратное сложению.

20. Скалярное произведение векторов, его свойства

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов   и   будем обозначать как  . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид  , где   и  - длины векторов   и   соответственно, а   - угол между векторами   и  .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то  .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению  .

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов   и   справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство коммутативности скалярного произведения  ;

2. свойство дистрибутивности   или  ;

3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен  , причем  тогда и только тогда, когда вектор   нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения  . По определению   и  . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо   и  , тогда  . Следовательно,  , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,   и  , откуда следует

21. Векторное произведение векторов, его свойства

Векторным произведением двух векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор  , что

• он является нулевым, если векторы   и   коллинеарны;

• он перпендикулярен и вектору   и вектору   ( );

• его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними ( );

• тройка векторов   ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов   и   обозначается как  .

Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы  , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность  ;

2. свойство дистрибутивности   или  ;

3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению   и  . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому,  , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.