Властивості операцій

Комутативний закон для об’єднання і перетину множин

А  В= В  А;

А  В= В  А.

Асоціативний закон для об’єднання і перетину множин

А  (В С)=(А  В) С;

А  (В С)=(А  В) С.

Дистрибутивний закон для об’єднання й перетину множин

А  (В С)=(А  В) (А  С);

А  (В С)=(А  В)(А  С).

Властивості пустої множини та універсума відносно об’єднання

А   = А;

А   = ;

А  Е = Е;

А  Е = А;

Закон ідемпотентност ідля об’єднання і перетину множин

А  А = А;

А  А = А.

Закон інволюції

=А

Теорема де Моргана

;

.

6. Аналіз систем на основі нечітких множин

Коротко перелічимо відмітні переваги fuzzy-систем порівняно з іншими:

• можливість оперувати вхідними даними, заданими нечітко: наприклад, що безупинно змінюються в часі значення (динамічні задачі); значення, що неможливо задати однозначно (результати статистичних опитувань, рекламні кампанії і т.д.);

• можливість нечіткої формалізації критеріїв оцінювання і порівняння: оперування критеріями “більшість”, “можливе”, “переважно”, ін.;

• можливість проведення якісних оцінок, як вхідних даних, так і виведених результатів: ви оперуєте не тільки власне значеннями даних, але їхнім ступенем вірогідності (не плутати з імовірністю!) і її розподілом;

• можливість проведення швидкого моделювання складних динамічних систем і їхній порівняльний аналіз із заданим ступенем точності: оперуючи принципами поведінки системи, описаними fuzzy-методами, ви по-перше, не витрачаєте багато часу на з’ясування точних значень змінних і складання рівнянь, що їх описують; по-друге, можете оцінити різні варіанти вихідних значень.

Застосування нечітких систем. Що стосується вітчизняного ринку комерційних систем на основі нечіткої логіки, то його формування почалося в середині 1995 року. Найбільш популярні в замовників такі пакети:

• CubiCalc 2.0 RTC – одна з найбільш могутніх комерційних експертних систем на основі нечіткої логіки, що дозволяє створювати власні прикладні експертні системи ;

• CubiQuick – дешева (університетська) версія пакета CubiCalc ;

• RuleMaker – програма автоматичного витягу нечітких правил із вхідних даних ;

• FuziCalc – електронна таблиця з нечіткими полями, що дозволяє давати швидкі оцінки при неточно відомих даних без нагромадження похибки;

• OWL – пакет, що містить вихідні тексти всіх відомих видів нейронних мереж, нечіткої асоціативної пам’яті тощо.

Основними споживачами нечіткої логіки на ринку СНД є банкіри і фінансисти, а також фахівці в галузі політичного й економічного аналізу. Вони використовують CubiCalc для створення моделей різних економічних, політичних, біржових ситуацій. Що ж стосується легкого в освоєнні пакета FuziCalc, то він зайняв своє місце на комп’ютерах великих банкірів і фахівців з надзвичайних ситуацій – тобто тих, для кого найбільш важлива швидкість проведення розрахунків в умовах неповноти та неточності вхідної інформації. Однак можна з упевненістю сказати, що епоха розквіту прикладного використання нечіткої логіки на вітчизняному ринку ще попереду.

Сьогодні елементи нечіткої логіки можна знайти в десятках промислових виробів – від систем керування електропоїздами і бойовими вертольотами до пилососів та пральних машин. Рекламні кампанії багатьох фірм (переважно японських) підносять успіхи у використанні нечіткої логіки як особливу конкурентну перевагу. Без застосування нечіткої логіки немислимі сучасні ситуаційні центри керівників західних країн, у яких приймаються ключові політичні рішення й моделюються всілякі кризові ситуації. Одним із вражаючих прикладів масштабного застосування нечіткої логіки стало комплексне моделювання системи охорони здоров’я і соціального забезпечення Великобританії (National Health Service – NHS), що вперше дозволило точно оцінити й оптимізувати витрати на соціальні нестатки .

Не обійшли засоби нечіткої логіки й програмні системи, що обслуговують великий бізнес. Першими, зрозуміло, були фінансисти, задачі яких вимагають щоденного прийняття правильних рішень у складних умовах непередбаченого ринку. Перший рік використання системи Fuji Bank приносив банку в середньому $770000 на місяць (і це тільки офіційно оголошений прибуток !).

Слідом за фінансистами, стурбовані успіхами японців і втратою стратегічної ініціативи, когнітивними нечіткими схемами зацікавилися промислові гіганти США. Motorola, General Electric, Otis Elevator, Pacific Gas & Electric, Ford й інші на початку 90-их почали інвестувати в розроблення продукції, що використовує нечітку логіку. Маючи солідну фінансову “підтримку” фірми, які спеціалізуються на нечіткій логіці, вони одержали можливість адаптувати свої розроблення для широкого кола застосувань. “Зброя еліти” вийшла на масовий ринок.

Серед лідерів нового ринку виділяється американська компанія Hyper Logic, заснована в 1987 році Фредом Уоткінсом (Fred Watkins). Спочатку компанія спеціалізувалася на нейронних мережах, однак незабаром цілком сконцентрувалася на нечіткій логіці. Недавно вийшла на ринок друга версія пакета CubiCalc фірми HyperLogic, яка є однією з найбільш могутніх експертних систем на основі нечіткої логіки. Пакет містить інтерактивну оболонку для розроблення нечітких експертних систем і систем керування, а також run-time модуль, що дозволяє оформляти створені користувачем системи у виді окремих програм.

Крім Hyper Logic, серед “патріархів” нечіткої логіки можна також назвати такі фірми, як IntelligenceWare, InfraLogic, Aptronix. Усього ж на світовому ринку представлено більше ніж 100 пакетів, котрі тим чи іншим чином використовують нечітку логіку. В трьох десятках СУБД реалізована функція нечіткого пошуку. Власні програми на основі нечіткої логіки анонсували такі гіганти, як IBM, Oracle та інші.

На принципах нечіткої логіки побудований і один з російських програмних продуктів – відомий пакет "Бізнес-прогноз". Призначення цього пакета – оцінка ризиків та потенційної прибутковості різних бізнес-планів, інвестиційних проектів і просто ідей щодо розвитку бізнесу. “Ведучи” користувача за сценарієм його задуму, програма задає низку питань, що допускають як точні кількісні відповіді, так і наближені якісні оцінки – типу “малоймовірно”, “ступінь ризику високий” тощо. Узагальнивши всю отриману інформацію у вигляді єдиної схеми бізнесу-проекту, програма не тільки виносить остаточний вердикт про ризикованість проекту й очікуваних прибутків, але і вказує критичні точки та слабкі місця в авторському задумі. Від аналогічних іноземних пакетів “Бізнес-прогноз” відрізняється простотою, дешевизною й, зрозуміло, російськомовним інтерфейсом. Утім, цілком очевидно, що програма “Бізнес-прогноз” – лише перша ластівка, за якою неминуче підуть нові розроблення вчених СНД.

Контрольні запитання

1. Що являє собою множина та її елементи?

2. Яку множину називають підмножиною?

3. Дати визначення множинної операції об’єднання.

4. Дати визначення множинної операції перетину.

5. Дати визначення множинної операції різниці.

6. Що являє собою нечітна множина?

7. Які операції існують для нечітких множин?

8. Назвати властивості операцій для нечітких множин.

Лекція 2

Аналіз систем на основи математичної логіки (МЛ)

1. Предмет дослідження математичної логіки.

2. Булеві функції.

3. Логічні операції та формули МЛ.

4. Булева алгебра, тотожні перетворення.

5. Висловлення. Предикати.

6. Двійкова арифметика.

7. Аналіз систем на основі математичної логіки.

1. Предмет дослідження математичної логіки

Логіка як мистецтво розмірковувань зародилася у глибокій давнині. Початок науки у законах і формах мислення повязують з іменем Аристотеля. Пройшло два тисячоліття, перш ніж Лейбніц запропонував увести в логіку математичну символіку та використати її для загальних логічних побудов. Цю ідею послідовно реалізував у XIX ст. Джорж Буль і тим самим заклав основи математичної (символічної) логіки. Головна мета застосування у логіці математичної символіки полягала у тому, щоб увести операції з логічними висловленнями до формальних дій над символами. При цьому вихідні положення записувалися формулами, котрі перетворювалися за деякими законами, а одержані результати тлумачилися у відповідних поняттях.

Бурхливий розвиток математичної логіки пов’язують перш за все із завданнями обгрунтування математики, де вона використовується для доведення несуперечності вихідних понять та правильності розміркувань і висновків математичної теорії. Деякі вчені навіть схильні розглядати логіку як одну із загальних наук, частиною якої є сама математика.

В останні десятиріччя логіка мала все більш широке застосування у техніці при дослідженні та розробленні релейно-контактних схем, обчислювальних машин, дискретних автоматів. ЇЇ методи використовують у теорії перетворення й передачі інформації, теорії ймовірностей і в комбінаторному аналізі. Математична логіка починає впроваджуватися у такі нематематичні сфери, як економіка, біологія, медицина, психологія, право. Це пояснюється ти, що її апарат легко розповсюджується на об’єкти, різноманітні за своєю природою, аби вони лише характеризувалися кінцевою кількістю станів.

Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику. Потужним імпульсом для розвитку й розширення сфери застосування математичної логіки стала поява ЕОМ. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий апарат для проектування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки та техніки.

Двозначна логіка має справу з такими обєктами, котрі набувають одне з двох можливих значень (правда або неправда, висока чи низька напруга, наявність або відсутність заданої ознаки в обєкта).

Об’єкти, які можуть приймати значення із скінченної множини, що містить більше від двох елементів, називають багатозначними. Вони або зводяться будь-яким способом до двозначних обєктів, або обслуговуються апаратом багатозначної логіки.

З розширенням галузі застосування та подальшим розвитком математичної логіки змінюється і погляд на неї. Об’єктами математичної логіки є будь-які дискретні скінченні системи, а її головне завдання  структурне моделювання таких систем.