3. Записати матриці інцидентності для вказаних вище графів.

4. Розмістіть на площині чотири вершини, як у графі на рис. 4, але позначення вершин v2 та v3 переставте. На множині позначених таким чином вершин побудуйте граф, ізоморфний вихідному.

Рис. 4. Граф

5. Виконайте такі вправи з графом, зображеним на рис. 4:

а) знайдіть будь-які маршрути довжиною 5 та 8 між вершинами v1 і v4;

б) визначте всі ланцюги й прості ланцюги між вершинами v1 та v4;

в) визначте всі прості цикли графа.

6. У місті складають схему автобусних маршрутів. Вони повинні задовольняти такі вимоги: на кожному маршруті має бути по три зупинки. Кожний маршрут з усяким іншим маршрутом повинен мати тільки одну спільну зупинку. Від будь-якої зупинки до будь-якої іншої зупинки можна доїхати автобусом одного будь-якого маршруту без обов’язкової пересадки на автобус іншого маршруту. Скільки має бути у місті автобусних маршрутів та зупинок?

7. Запишіть формулу, що відповідає контактній схемі на рис. 5. Спростіть формулу й побудуйте більш просту схему.

Рис. 5. Граф контактної схеми

8. Побудуйте контактні схеми за формулами:

а) (x₁  x₂ )(x₁x₂  x₃x₄);

б) ( (x₂  )  )x₁.

 Завдання для самостійної роботи

1. Упевніться за допомогою таблиць істинності у справедливості виразів для імплікації й еквіваленції. Побудуйте контактні схеми для імплікації та еквіваленції відповідно до тотожностей:

а) x₁  x₂ =  x₂;

б) x₁  x₂ = x₁x₂  = (x₁  )(  x₂);

в) x₁  x₂ = (x₁  x₂)(x₂  x₁).

2. Побудуйте контактні схеми згідно з наведеними нижче булевими функціями у диз’юнктивній та кон’юнктивній нормальних формах:

а) (x₁  x₂)  x₃ ;

б) x₁  x₂x₃;

в) (x₁ + x₂)  x₃.

3. Запишіть булеві функції, які відповідають контактним схемам:

а) б)

в)

4. Покажіть, що кількість ребер повного графа дорівнює , де p — кількість його вершин.

5. Побудуйте граф, ізоморфний графу Понтрягіна-Куратовського (рис. 6), у якого зовнішні ребра утворюють шестикутник. Розглядаючи його як підграф повного шестикутника, намалюйте доповнення цього підграфа. Укажіть характерні властивості одержаного доповнення.

Рис 6. Граф Понтрягіна-Куратовського

6. Побудувати матриці суміжності й інцидентності графа, одержаного з’єднанням центра правильного пятикутника з його вершинами.

Лабораторна робота № 7 Відношення. Властивості бінарних відношень. Реляційна модель даних

Відношення реалізують у математичних термінах на абстрактних множинах реальні зв’язки між реальними об’єктами. Відношення застосовуються під час побудови комп’ютерних баз даних, які організовані у вигляді таблиць даних. Звязки між групами даних у таблицях описуються мовою відношень. Самі дані обробляються й перетворюються за допомогою операцій, математично точно визначених для відношень. Такі бази даних називаються реляційними й широко використовуються для збереження й обробки найрізноманітнішої інформації: виробничої, комерційної, статистичної тощо. Відношення також часто застосовують у програмуванні.

 Приклади задач

1. Нехай маємо відношення A  X  Y. Визначити переріз по кожному елементу із X та по підмножині {x_2, x₃}.

Розглянемо відношення AXY; якщо x_iX, то переріз по x_i відношення А, позначений А(x_i), є множина yY таких, що (x_i, y ) А.

Множина всіх перерізів відношення А називається фактор-множиною Y по відношенню А і позначається Y/A. Вона повністю визначає відношення А.

Приклад:

X={ x₁, x₂, x₃, x₄, x₅};

Y= { y₁, y₂, y₃, y₄};

A= {( x₁, y₁), (x₁, y₃), ( x₂, y₁), ( x₂, y₃), ( x₂, y₄), ( x₃, y₁), ( x₃, y₂), ( x₃, y₄),

( x₄, y₃), ( x₅, y₂), ( x₅, y₄)}.

Запишемо під кожним елементом із множини X відповідний переріз відношення А, тоді елементи другого рядка утворять фактор-множину Y/A:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

{y₁,y₃} { y₁,y_3, y₄} { y₁,y_2, y₄} {y₃} { y_2, y₄}.

Об’єднанням перерізів по елементах деякої підмножини B  X є переріз A(B) цієї підмножини, тобто A(B)= . Так,

A(x_2, x₃) = A(x₂)  A(x₃) = { y₁, y_2, y_3, y₄}.

 Завдання

1. Побудуйте матрицю й граф для таких відношень, визначених на множині

А = {1, 2, 3}:

а) {(1, 1), (1, 2), (1, 3)};

б) {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3)};

в) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)};

г) {(1, 3), (3, 1)}.

2. Запишіть список елементів для тернарного відношення R, що задане на множині натуральних чисел таким чином: (a, b, c)R, якщо

0 < a < b < c < 5.

3. Дано дві множини X= {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}. Бінарне відношення A = {(x₁,y₂ ), (x₂, y₁ ), (x₂, y₂), (x₄, y₂), (x₄, y₃), (x₅, y₁), (x₅, y₃)}. Необхідно:

а) записати область визначення й область значень;

б) визначити переріз по кожному елементу із X;

в) визначити переріз по підмножинах X^ = {x₁, x₄}; X^ = {x₂, x₃, x₅};

г) записати матрицю й накреслити граф;

д) визначити симетричне відношення A^-1.

4. Представте бінарне відношення, задане графом (рис. 7), як множину впорядкованих пар і запишіть його матрицю. Якими властивостями характеризується даний граф?

Рис. 7. Граф бінарного відношення

5. Нехай відношення А задане на множині дійсних чисел R. Тоді на площині кожній упорядкованій парі відповідатиме точка з координатами x та y, якщо (x, y)  A. Відношення А буде зображатися графіком, що представляє собою підмножину точок площини (області, лінії або окремої точки). При цьому відношення записується як

A = {(x, y)  RR| P(x, y)},

що визначає властивість відношення А, яке виражається зазвичай алгебраїчними рівняннями й нерівностями.

6. Побудувати графіки для таких відношень (у тих випадках, коли графік є частиною площини, ця область штрихується):

а) {(x, y)  RR| x = y};

б) {(x, y)  RR| y  x};

в) {(x, y)  RR| x  0; y  x та x + y  1}.

7. Запишіть відношення, графіки яких показані на рис. 8.

Рис. 8. Графіки відношень

8. Визначте, які властивості має кожне з наведених відношень. Відношення задані на множині A = {1, 2, 3, 4}:

а) {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3,4)};

б) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)};

в) {(2,4), (4,2)};

г) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)};

д) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)};

e) {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}.

9. Для деякої дизайнерської фірми у м. Харкові було складене відношення Фірма-продукція 1.

Фірма-продукція 1

Назва	Місто	Продукція
ЧПП Оріон	Одеса	Меблі
ТОВ День	Харків	Світильники
ЧКП Sit	Одеса	Меблі
ЧКП Sit	Одеса	Світильники
ТОВ House	Харків	Світильники
ТОВ House	Харків	Матеріали для ремонту

Припустимо, існує ще одне відношення, складене деякою фірмою у м. Києві.

Фірма-продукція 2

Назва	Місто	Продукція
ТОВ Днепр	Київ	Матеріали для ремонту
ЧКП Virta	Київ	Сантехніка
ЧКП Virta	Київ	Кахлі
ЧПП Оріон	Одеса	Меблі
ЧКП Софія	Київ	Сантехніка
ЧКП Софія	Київ	Кахлі
ТОВ День	Харків	Світильники

Виконайте операції об’єднання, перетину й різниці над відношеннями Фірма-продукція 1 і Фірма-продукція 2. Назвіть таблицю, одержану в результаті виконання операції обєднання Фірма-продукція 3.

 Завдання для самостійної роботи

1. Доведіть наступні властивості семитризації та композиції відношень:

а) (AB)^-1 = B^-1A^-1;

б) (A  B)^-1 = A^-1  B^-1;

в) (A  B)^-1 = A^-1  B^-1;

г) (A^-1)^-1 = A.

2. Доведіть наступні твердження:

а) якщо відношення A та B рефлексивні, то рефлексивні й відношення

A  B, A  B, AB;

б) якщо відношення A та B антирефлексивні, то антирефлексивні й відношення A  B, A  B;

в) якщо відношення A та B симетричні, то симетричні й відношення

A  B, A  B;

г) якщо відношення A та B транзитивні, то транзитивне й відношення

A  B.

3. Побудувати графіки для наступних відношень (у тих випадках, коли графік є частиною площини, ця область штрихується):

а) {(x, y)  RR| y  x та x  0};

б) {(x, y)  RR| x² + y² =1}.

5. Виконайте з’єднання відношень Фірма-продукція 3 і Фірма-телефон. Відношення Фірма-телефон таке:

Фірма-телефон

Назва	Телефон
ЧПП Оріон	784-556
ТОВ День	145-134
ЧКП Sit	356-777
ТОВ House	122-890
ТОВ Днепр	555-78-12
ЧКП Virta	233-77-77
ЧКП Софія	550-09-09

Запишіть відношення, одержане в результаті операції з’єднання, як Фірма-продукція-телефон.

5. Виконайте обмеження відношення Фірма-продукція-телефон за умови:

а) продукція = меблі;

б) продукція = матеріали для ремонту, місто = Харків;

в) місто = Одеса.