Лабораторна робота № 5 Булева алгебра. Вирази. Переведення десяткових чисел у двійкову систему
У позиційній системі числення з основою m будь-яке ціле невід’ємне число a записується послідовністю різних цифр x1, x2, ...,xn, що означає
.
Десяткова система числення використовує цифри 1, 2, 3,…, 9. У цій системі число можна записати наступним чином:
2907 = 2103 + 9102 + 110 + 7100.
Для
двійкової системи числення достатньо
двох цифр 0 та 1. Послідовність цифр x1,
x2,
..., xn
є записом
двійкового n-розрядного
числа
.
Переведення цілих десяткових чисел у
двійкові здійснюється послідовним
діленням вихідного числа й кожної частки
від ділення на два. Одержані при цьому
залишки (0 та 1) і записані у зворотному
порядку дають представлення десяткового
числа у двійковій системі числення.
Приклади задач
1. Перевести у двійкову систему числення число 26.
Розв’язок 26/2=13/2=6/2=3/2=1/2=0
26 12 6 2 0
0 1 0 1 1
2610=110102
Перевірка: 124+123+022+121+020=16+8+2=26.
2. Знайти порядковий номер функції f(x, y), що набуває таких значень:
f(0, 0)=1, f(0, 1)=1, f(1, 0)=0, f(1, 1)=1.
Розвязок. Побудуємо таблицю істинності для цієї функції.
-
x
y
f(x,y)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Двійковий код, що відповідає значенню цієї функції, — 1101. Переведемо двійкове число 11012 у десяткову систему числення
11012=123 + 122 + 021 + 120 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310.
Таким чином, десятковий номер даної функції — 13, тобто розглянута функція імплікації f13(x,y) = x y (див. додаток 1). Отже, функцію можна задати за допомогою двійкового коду, що відповідає її двійковому номеру.
3. Побудувати таблицю істинності для бінарної функції з порядковим номером 14.
Розв’язок
Для цього знайдемо двійкове число, яке відповідає десятковому числу 14.
1410 = 11102.
Побудуємо шукану таблицю істинності.
-
x
y
f(x,y)
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Завдання
1. Побудуйте таблиці істинності функцій та визначте їхній порядковий номер:
а) f(x, y) = (x y) (y x);
б) f(x, y, z) = (x y) (x z) (y z).
2. Перевести у двійкову систему числення числа:
а) 23; б) 64; в) 125; г) 1000.
3. Виконайте у двійковій системі наступні операції над десятковими числами:
а) 21 + 37; б) 31 + 105; в) 25 8; г) (8 + 19) 11.
4. Яким десятковим числам відповідають наступні двійкові числа:
а) 1011; б) 1000110; в) 1100111; г) 110100111?
5. Скласти таблиці істинності для формул:
а) (a b) (a b);
б) (a
b) = (
b);
в)
.
6.
Яке значення істинності формули (a
(a
))
,
якщо висловлення а —хиба, а b
— істина?
7. Записати наступні висловлювання у вигляді формул:
а) якщо Андрій погодиться чергувати у понеділок, то у вівторок піде чергувати або Віктор, або Павло;
б) якщо на перше запитання потрібно відповідати стверджувально, то на друге чи на третє запитання — заперечно;
в) перше й четверте запитання потребують однакових відповідей, а друге й третє потребують різних відповідей.
8. Запишіть формулу, що відповідає висловленню: Для того, щоб паралелограм був квадратом, необхідно і достатньо, щоб він був ромбом та мав прямий кут або був прямокутником і мав рівні суміжні сторони.
9. Довести закон a b = b.
Завдання для самостійної роботи
1. Спростіть за допомогою законів логіки Буля наведені нижче вирази. Потім за допомогою таблиць істинності порівняйте одержані вирази з вихідними:
а)
x(yp);
б)
.
2. Розв’язати задачі обчисленням висловлювань:
а) слідчий допитав трьох осіб А, Б, С, підозрюваних у скоєнні злочину. На допиті А сказав, що показання В неправильні, В сказав, що показання С неправильні. Нарешті С сказав, що А говорить неправду і В говорить неправду. Чи може слідчий на основі цих показань установити, хто з допитаних говорить правду?
б) після батьківських зборів батько Олександра сказав класному керівнику:
Ви не назвали мого сина серед гарних учнів, але він відмінник і до того ж найкращий лижник класу.
Так, ви праві, але гарним учнем ми вважаємо того, хто гарно навчається, дисциплінований, допомагає відстаючим, а також бере участь у роботі наукового гуртка або займається спортом. А ваш син...
Що збирався сказати класний керівник?
3. Побудуйте таблиці істинності їх функцій та визначте їхній порядковий номер:
а) f(x, y, z) = (x y) (x z) (y z);
б)
f(x, y, z)
=
(x
)
(x
)
(y
).