3.3 Состояние системы. Матрица и граф переходов.

В случайный момент времени СМО переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок и очереди и пр. Таким образом, СМО с n каналами и длиной очереди, равной m, может находиться в одном из следующих состояний:

Е₀ - все каналы свободны;

Е₁ – занят один канал;

…

Е_n – заняты все каналы;

Е_n+1 – заняты все каналы и одна заявка в очереди;

…

Е_n+m – заняты все каналы и все места в очереди.

Аналогичная система с отказами может находиться в состояниях E₀ – E_n.

Для СМО с чистым ожиданием существует бесконечное множество состояний. Таким образом, состояние E_n СМО в момент времени t – это количество n заявок (требований), находящихся в системе в данный момент времени, т.е. n=n(t) – случайная величина, E_n(t) – исходы этой случайной величины, а P_n(t) – вероятность пребывания системы в состоянии E_n.

С состоянием системы мы уже знакомы. Отметим, что не все состояния системы равнозначны. Состояние системы называется источником, если система может выйти из этого состояния, но не может в него вернуться. Состояние системы называется изолированным, если система не может выйти из этого состояния или в него войти.

Для наглядности изображения состояний системы используют схемы (так называемые графы переходов), в которых стрелки указывают возможные переходы системы из одного состояния в другое, а также вероятности таких переходов.

Рисунок 3.1 – граф переходов

Сост.	Е0	Е1	Е2
Е0	Р0,0	Р0,1	Р0,2
Е1	Р1,0	Р1,1	Р1,2
Е2	Р2,0	Р2,2	Р2,2

Также иногда удобно воспользоваться матрицей переходов. При этом первый столбец означает исходные состояния системы (текущие), а далее приведены вероятности перехода из этих состояний в другие.

Так как система обязательно перейдет из одного

состояния в другое, то сумма вероятностей в каждой строке всегда равна единице.

3.4 Одноканальные смо.

3.4.1 Одноканальные смо с отказами.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям:

(Р/Е/1):(–/1/¥). Предположим также, что время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему. Здесь и далее «Р» означает, что входной поток распределен по закону Пуассона, т.е. простейший, «Е» означает, что выходной поток распределен по экспоненциальному закону. Также здесь и далее основные формулы даются без доказательства.

Для такой системы возможно два состояния: Е₀ – система свободна и Е₁ – система занята. Составим матрицу переходов.

Возьмем Dt - бесконечно малый промежуток времени. Пусть событие А состоит в том, что в систему за время Dt поступило одно требование. Событие В состоит в том, что за время Dt обслужено одно требование. Событие А_i,k – за время Dt система перейдет из состояния E_i в состояние E_k. Так как l - интенсивность входного потока, то за время Dt в систему в среднем поступает l*Dt требований. То есть, вероятность поступления одного требования Р(А)= l* Dt, а вероятность противоположного события Р(Ā)=1-l*Dt. Р(В)=F(Dt)=P(b<D t)=1-e^{-m D t}=m Dt – вероятность обслуживания заявки за время Dt.

Тогда А₀₀ – заявка не поступит или поступит, но будет обслужена. А₀₀=Ā+А*В. Р₀₀=1-l*Dt. (мы учли, что (Dt)² - бесконечно малая величина)

А₀₁ – заявка поступит, но не будет обслужена. А₀₁=А* . Р₀₁=l*Dt.

А₁₀ – заявка будет обслужена и новой не будет. А₁₀=В*Ā. Р₁₀=m*Dt.

А₁₁ – заявка не будет обслужена или поступит новая, которая еще не обслужена. А₁₁= +В*А. Р₀₁=1-m*Dt.

Таким образом, получим матрицу переходов:

Сост.	Е0	Е1
Е0	1-l*Dt	l*Dt
Е1	m*Dt	1-m*Dt

Вероятность простоя и отказа системы.

Найдем теперь вероятность нахождения системы в состоянии Е₀ в любой момент времени t (т.е. р₀ (t)). График функции изображен на рисунке 3.2.

Асимптотой графика является прямая .

Очевидно, начиная с некоторого момента t,

1

Рисунок 3.2

Окончательно получим, что и , где р₁(t) – вероятность того, что в момент времени t система занята (т.е. находится в состоянии Е₁).

Очевидно, что в начале работы СМО протекающий процесс не будет стационарным: это будет «переходный», нестационарный режим. Спустя некоторое время (которое зависит от интенсивностей входного и выходного потока) этот процесс затухнет и система перейдет в стационарный, установившийся режим работы, и вероятностные характеристики уже не будут зависеть от времени.

Стационарный режим работы и коэффициент загрузки системы.

Если вероятность нахождения системы в состоянии Е_k, т.е. Р_k(t), не зависит от времени t, то говорят, что в СМО установился стационарный режим работы. При этом величина называется коэффициентом загрузки системы (или приведенной плотностью потока заявок). Тогда для вероятностей р₀(t) и р₁(t) получаем следующие формулы: , . Можно также сделать вывод: чем больше коэффициент загрузки системы, тем больше вероятность отказа системы (т.е. вероятность того, что система занята).

ПРИМЕР.

На автомойке один блок для обслуживания. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти вероятность того, что подъехавший автомобиль найдет систему занятой, если СМО работает в стационарном режиме.

Решение. По условию задачи, l=5, m =60мин/10мин = 6. Коэффициент загрузки y =5/6. Надо найти вероятность р₁ – вероятность отказа системы. .