Индивидуальное задание №2

“Выбор корректирующего кода и расчет ЭВК”

Исходные данные (табл. 6):

• тип непрерывного канала связи – канал с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом;

• метод модуляции в канале связи;

• допустимая вероятность ошибки бита на выходе системы передачи р_доп;

• необходимый ЭВК g_необх, обеспечиваемый корректирующим кодом.

Необходимо:

1. Привести структурную схему цифровой системы передачи (ЦСП), содержащей канал связи (линию передачи), модулятор и демодулятор, кодер и декодер корректирующего кода. Объяснить: назначение отдельных блоков схемы, принцип построения блочного корректирующего кода, общий принцип исправления ошибок декодером, понятие ЭВК.

2. Рассчитать зависимость вероятности ошибки бита на выходе демодулятора от отношения сигнал/шум на входе демодулятора р = f₁( ) при условии передачи без корректирующего кода.

3. Определить отношение сигнал/шум на входе демодулятора , которое обеспечивает допустимую вероятность ошибки р_доп при условии передачи без корректирующего кода.

4. Выбрать и обосновать параметры кода, который обеспечивает необходимый ЭВК: длину кода n, число информационных символов k и кратность исправляемых ошибок q_и.

5. Рассчитать зависимость вероятности ошибки символа на выходе декодера от отношения сигнал/шум на входе демодулятора р_д = f₂( ) при использовании выбранного кода.

6. Определить полученный ЭВК и сравнить его с необходимым.

7. Вычислить и сравнить минимально необходимые полосы частот канала связи систем передачи без корректирующего кода и с корректирующим кодом.

Методические указания к выполнению задания№2

1. Структурную схему ЦСП, принцип построения блочного корректирующего кода и общий принцип исправления ошибок декодером описано в [2, разд. 1...3].

2. Для заданного метода модуляции необходимо рассчитать и построить графики зависимости р = f₁( ). Расчетные формулы приведены в табл. 4

Таблица 4 – Вероятность ошибки двоичного символа на выходе демодулятора

Метод модуляции	Вероятность ошибки
АМ-2, ЧМ-2	р = Q(h)
ФМ-2, ФМ-4	р = Q( h)
ОФМ-2, ОФМ-4	р = 2Q( h)
АФМ-8	р = 2Q(1,13h)
ФМ-8	р = (2/3)Q(0,94h)
КАМ-16	р = Q(0,89h)

В этих формулах – гауссовская Q-функция (одна из форм интеграла вероятности). При отсутствии таблиц можно пользоваться аппроксимацией этого интеграла вероятности

Q(z) = 0,65 exp(–0,44 (z + 0,75)²). (1)

В системе передачи без корректирующего кода отношение сигнал/шум в формулах табл. 4 . При построении графиков масштаб для р должен быть логарифмическим, а для значений , выраженных в децибелах, – линейным. При расчетах увеличивают с шагом 1 дБ, начиная с 3 дБ, до такого значения, при котором вероятность р не окажется меньше р_доп. Пример такой зависимости приведен в разд. 8 [2]. Прежде чем рассчитывать вероятность ошибки, необходимо отношение сигнал/шум представить в разах

. (2)

3. Определение необходимого отношения сигнал/шум на входе демодулятора, при котором обеспечивается допустимая вероятности ошибки бита на выходе демодулятора р_доп, выполняется графически или аналитически, если соответствующую формулу для вероятности ошибки р = f₁( )преобразовать в обратную формулу.

4. Выбор и обоснование кода. Из трех параметров кода n, k и q_и два могут быть выбраны независимо, а третий рассчитан, исходя из нижней границы Хемминга для числа дополнительных символов n – k:

2^{n – k} – 1  . (3)

Независимыми параметрами обычно являются n и q_и. Для их выбора следует учесть:

• с повышением q_и ЭВК увеличивается, но при этом резко возрастает сложность декодера;

• с ростом n ЭВК увеличивается, но для больших n (порядка 100) рост ЭВК замедляется, а затем ЭВК может и уменьшаться (см. рис. 1).

Поэтому выбор параметров кода ведется подбором, путем последовательного перехода от менее сложных кодов к более сложному или от более сложных кодов к менее сложному. Чтобы облегчить выбор параметров кода, на рис. 1 приведены семейства зависимостей ЭВК от n для разных значений q_и. Для значений вероятности ошибки бита на выходе декодера р_д, не приведенных на рис. 1, ЭВК можно оценить ориентировочно, считая, что ЭВК линейно зависит от lg р_д.

Для заданных ЭВК и допустимой вероятности ошибки символа на выходе декодера р_д с помощью данных рис. 1 определяются кратность исправляемых ошибок q_и и длина кода n, при которых обеспечивается заданное значение ЭВК. Каждый из этих параметров кода должен быть по возможности меньшим, но, поскольку при увеличении q_и сильнее, чем при увеличении n, возрастает сложность декодера, то, прежде всего, должно быть минимальным значение q_и. После нахождения значений n и q_и определяется значение k из соотношения (3).

Для совершенных кодов неравенство (3) переходит в равенство и при этом минимизируется число дополнительных символов n – k для фиксированных значений n и q_и. Широкое распространение получили циклические коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ). По параметрам они близки к совершенным кодам и вместе с тем требуют относительно простых схем кодеров и декодеров. У кодов БЧХ основные параметры связаны соотношениями:

k = n – mq_в, (4)

где m – наименьшее целое, удовлетворяющее неравенство-равенство

m  log₂(n + 1). (5)

Найденные с помощью рис. 1 параметры кода n, k и q_и следует рассматривать как ориентировочные, а правильность выбора кода необходимо подтвердить расчетами. Для этого следует рассчитать необходимое отношение сигнал/шум на входе демодулятора в системе передачи с помехоустойчивым кодированием

= = – g_необх [дБ],

где g_необх – необходимый ЭВК;

– определено в п. 3.

Используя методику расчета вероятности ошибки бита в системе передачи с кодированием (Приложение А), найти вероятности ошибки бита на выходе декодера р_д.

Если полученное значение р_д  р_доп, то выбранный код обеспечивает необходимый ЭВК, а если р_д  р_доп, то код не обеспечивает необходимый ЭВК. С целью минимизации значений q_и и n необходимо провести расчеты для 3–5 кодов. Результаты расчетов оформить в виде табл. 5.

Таблица 5 – Результаты расчетов для выбора кода

Код (n, k)	qи	k/n	p	Ро.д	рд

На основе полученных данных проводят обоснование выбора кода. Наилучшим считается код с минимально возможным q_и и наименьшим при этом значении n, при которых обеспечивается заданный ЭВК, – это минимизирует сложность кодека.

Отметим, что на рис. 1 указаны значения n, соответствующие равенству n = 2^m – 1. При выборе кода его длина n может принимать и любое промежуточное значение.

5. После выбора кода необходимо рассчитать зависимость, характеризующую помехоустойчивость системы передачи с корректирующим кодом. Необходимо использовать формулы Приложения А. Значение изменяют в таких границах, чтобы величина р_д принимала значение от примерно 10^–3 до значения, которое несколько меньше р_доп, строят зависимость р_д = f₂( ) на том же рисунке, где построена зависимость р = f₁( ).

6. По зависимости р_д = f₂( ) определяют необходимое отношение сигнал/шум на входе демодулятора , при котором обеспечивается допустимая вероятность ошибки символа на выходе декодера, т.е. р_д = р_доп. По найденному значению и полученным при расчете помехоустойчивости передачи без корректирующего кода значением определяют достигнутый ЭВК по формуле и сравнивают его с необходимым.

7. Минимальная необходимая полоса пропускания канала связи определяется по формуле

, (6)

где R_к = k / n – скорость корректирующего кода. Если в системе передачи не используется корректирующий код, то минимальная необходимая полоса пропускания канала связи определяется формулой (6), если положить R_к =1.

Таблица 6 – Исходные данные к заданию №2

Номер варианта	рдоп	Метод модуляции	gнеобх, дБ	R, кбит/с
01	2Е–7	ФМ-8	2,8	120
02	3Е–7	ЧМ-2	1,5	320
03	4Е–7	АФМ-8	2,7	80
04	7Е–7	ФМ-2	1,6	100
05	1Е–6	ОФМ-2	2,2	120
06	2Е–6	ФМ-8	1,3	200
07	2Е–6	ФМ-4	2,6	400
08	3Е–6	ОФМ-4	1,5	500
09	4Е–6	АФМ-8	2,3	40
10	7Е–6	ФМ-8	1,2	120
11	1Е–5	КАМ-16	2,3	80
12	2Е–5	ФМ-4	1,35	240
13	2Е–5	АФМ-8	2,5	300
14	3Е–5	АМ-2	1,25	160
15	4Е–5	ЧМ-2	2,3	140
16	7Е–5	ФМ-8	1,1	160
17	5Е–5	ФМ-2	2,1	40
18	1Е–4	ОФМ-2	1,2	320
19	2Е–4	АФМ-8	1,8	200
20	2Е–7	ФМ-4	1,6	240
21	2Е–7	ОФМ-4	3,3	120
22	4Е–7	КАМ-16	1,35	60
23	4Е–7	АМ-2	2,6	1000
24	5Е–7	КАМ-16	1,5	120
25	1Е–6	ФМ-4	3,1	320
26	2Е–6	АМ-2	1,55	200
27	2Е–6	ОФМ-4	2,4	100
28	4Е–6	ЧМ-2	1,45	100
29	5Е–6	ФМ-8	1,65	60
Пояснения: 1) 4Е–5 означает 410–5. 2) Номер варианта для выполнения КР должен соответствовать номеру фамилии студента в журнале академической группы