1.1. Определение эконометрики. Примеры решения эконометрических задач

Термин «эконометрика» состоит из двух частей: «эконо» — от «экономика» и «метрика» — от «измерение», которые означают экономические измерения.

В настоящее время эконометрическим обществом принято следующее определение эконометрики.

Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей.

Современное определение предмета эконометрики было выработано в уставе Эконометрического общества, которое главными целями назвало использование статистики и математики для развития экономической теории.

Теоретическая эконометрика рассматривает статистические свойства оценок и испытаний, в то время как прикладная эконометрика занимается применением эконометрических методов для оценки экономических теорий. Эконометрика дает инструментарий для экономических измерений, а также методологию оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. Кроме того, эконометрика активно используется для прогнозирования экономических процессов как в масштабах экономики в целом, так и на уровне отдельных предприятий. При этом эконометрика является частью экономической теории, наряду с макро- и микроэкономикой. (http://instapedia.com/m/Econometric)

Дискуссия 1.1.. На Украине принято использовать термин "эконометрия" (по аналогии с понятиями "геометрия", "биометрия", "социометрия"), содержание которого не отличается от термина "эконометика", принятого в России.

Сравним эти два термина. Приставка "метрика" (гр. metrike < metron мера, размер) – учение о стихотворных размерах, расстояние. "Метрика" (польск. мetryka < лат. matricula список) – свидетельство о рождении, составленное на основании соответствующей записи в метрической книге.

Метрия (гр. metron - мера, metreo - измеряю) – вторая составная часть сложных слов, соответствующая по значению слову "измерение", например геометрия, стереометрия (словарь иностранных слов).

Ради объективности следует признать, что термин "эконометрия" больше соответствует его содержанию, чем "эконометрика", так как оно возникло после науки биометрия, которая очень тесно связана с эконометрическими исследованиями. Очевидно, слово "эконометрика" произошло от английского еconometric.

В соответствии с ее дословным переводом эконометрику можно рассматривать как науку о взаимном расстоянии между экономическими показателями в определенных координатах. Например, мероприятие можно разместить в координатах прибыль – затраты; все виды управления можно разместить в координатах смелость – радость; модели факторного, компонентного и дискриминатного анализов содержат решения задач расположения объектов в новых координатах таким образом, чтобы получить о них новую информацию.

В настоящее время в СНГ имеется много книг с использованием терминов "эконометрика" и "эконометрия". Пусть это читателя не смущает. По сути - это два одинаковых термина.

Некоторые ученые считают, что термин "эконометрия" впервые введен бухгалтером П. Цьемпой П. в 1910 году¹.

Конец дискуссии.

Объектом эконометрики являются экономические процессы, происходящие в экономической системе общества.

Предметом эконометрики является количественная оценка взаимосвязи между случайными событиями, признаками, показателями, факторами, переменными экономических объектов, проверяя теоретические модели реальных экономических процессов для получения прогнозов деятельности экономических систем.

Целью эконометрики является оценка точечных и интервальных прогнозов деятельности всех объектов экономической системы на основании расчетов по данным выборочной совокупности.

Задачами эконометрики являются:

• разработка эконометрических методов, повышающих точность прогноза,

• разработка методов расчета коэффициентов моделей при нарушении предпосылок метода наименьших квадратов,

• построение математической модели с учетом свойств экономических объектов,

• определение коэффициентов математической модели экономического процесса,

• получение точечного и интервального прогноза экономического процесса,

• расчет оценки качества полученной модели.

Примеры решения эконометрических задач

Приводим решение типичных задач, которые используются в эконометрике, для получения общего представления о методах решения.

Формулировки некоторых предложенных задач называются слабо формализованными и представлены в виде утверждения о наличии зависимостей, с помощью которых необходимо решить задачу. Слабо формализованные задачи широко применяются в микро и макро экономике.

Решение задачи предполагает формализацию постановки задачи, сбор данных, построение модели, расчет характеристик модели и решение задачи.

Целью решения первой задачи является напомнить студентам основные понятия математической статистики и регрессионного анализа, которые будут использоваться в эконометрике.

Целью решения второй, третьей и четвертой задач показать студентам порядок проведения расчетов и эконометрического анализа, а также указать источники данных, которые можно использовать для построения эконометрических моделей.

Целью формулирования остальных задач является указать на область возможного использования моделей эконометрики, достаточных для первого знакомства с данной наукой. После изучения курса эконометрики эти задачи студенты смогут решить самостоятельно и оформить в виде реферата.

Задача 1.1

Имеются численные значения двух показателей: количество продавцов и розничного товарооборота по четырем выборочным однородным филиалам одной фирмы, представленные в таблице 1.

Таблица 1.1 - База данных по четырем филиалам одной фирмы

i	Хi	Уi
1	1	4
2	3	6
3	2	7
4	4	10
5	5	?

Где: i - номер филиала фирмы,

Х - количество продавцов (чел.),

У - величина розничного товарооборота (тыс. руб.).

Необходимо получить прогноз розничного товарооборота для открывающегося пятого филиала фирмы, в котором ожидается количество продавцов равного пяти.

Полученный прогноз необходим для определения ориентировочной величины плана товарооборота для нового филиала фирмы.

Решение задачи.

Нам неизвестна зависимость У от Х, поэтому выдвигаем следующие гипотезы:

Предполагаем, что зависимость У от Х можно представить в виде классической нормальной линейной модели парной регрессии. Приводим спецификацию данной модели:

У_i =  + X_i+ _i, i = 1, 2, … , n;

У – случайная величина (стохастическая);

Х – неслучайная (детерминированная) величина;

- нормально распределенная случайная величина со средним ср=0 и дисперсией равной _² ,

где ,  - неизвестные параметры;

 - неизвестное возмущение;

_² - неизвестная дисперсия возмущения ;

М – знак математического ожидания;

n – объем выборки.

Напомним некоторые основные понятия регрессионного анализа с помощью графического представления данных, см. рис 1.1.

Рис. 1.1 - Графический анализ данных

Проведем аппроксимационную линию так, чтобы разница между фактическими и расчетными значениями розничного товарооборота (остатки) были минимальными.

Если говорить более строго, то необходимо так провести линию, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Для оценки параметров ,  и возмущения  , будем использовать коэффициенты а0, а1 и остатки е следующего линейного парного уравнения регрессии, вычисленных по выборочной совокупности объемом n = 5:

У_i= а0+а1*Х_i+е_i = Ур_i+е_i,

где:

У_i - фактические значения розничного товарооборота;

i – порядковый номер измерения;

а0 – свободный коэффициент линейного уравнения регрессии равный значению Ур при Х = 0;

а1- коэффициент пропорциональности между У и Х, равного приросту Ур при изменении Х на единицу. В нашем примере коэффициент а1 означает среднею производительность труда продавцов;

Ур_i = а0 +а1*Х_i - расчетные значения розничного товарооборота;

е_i = У_i - Ур_i - остатки модели, учитывающие влияние факторов, не включенные в модель.

Визуальный анализ графика зависимости У от Х позволяет приблизительно вычислить коэффициенты парной регрессии.

а0=2,5

а1 =1,7

Ур =2,5+1,7 * Х

Если в уравнение регрессии подставить ожидаемое значение Хож = 5, то можно получить прогнозное значение Упр.

Упр =2,5+1,7*Хож = 2,5+1,7*5 =11 тыс. руб.

Вывод.

Для выборочной совокупности фирм зависимость розничного товарооборота от количества продавцов можно представить в виде парного линейного уравнения регрессии:

У_i =2,5+1,7 * Х_i+e_i.

Средняя производительность труда продавцов составляет 1,7 тыс. руб. на одного продавца.

Если в новой фирме ожидается 5 продавцов, то среднее прогнозное значение товарооборота будет равно 11 тыс. руб.

Однако, коэффициенты а0, а1, определенные по выборки равной пяти будут отличаться от истинных параметров , , которые можно определить по всей бесконечной генеральной совокупности.

Для более точного определения коэффициентов уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов, который будет изучен позже.

Задача 1.2

Цена товара в период времени t зависит, прежде всего, от объемов его поставок в данный период времени и от цены конкурирующих товаров.

Насколько изменится цена данного товара в результате изменения объемов поставок или цен конкурирующих товаров?

Решение

Рассмотрим цены на ноутбуки, имеющих одинаковые характеристики, реализуемые в г. Москва в павильонах Электронный рай на Пражской в декабре 2010 года, в зависимости от объемов поставок и цен конкурентов.

Условные данные, приближенные к реальным, представлены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 - Исходные данные задачи

№ павильона	Х1 – цена конкурента (тыс. руб.)	Х2 – объемы поставок (штук)	У – цена ноутбука (тыс. руб.)
1	32,00	100	27,00
2	32,00	50	29,00
3	32,00	25	30,00
4	31,00	100	26,00
5	31,00	50	28,00
6	31,00	25	29,00
7	30,00	100	25,00
8	30,00	50	26,00
9	30,00	25	27,00

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики многофакторной модели, представленной на рис. 1.2.

Функция «Линейн» очень часто используется для расчета характеристик многофакторных моделей благодаря следующим свойствам:

- при изменении исходных данных происходит автоматический пересчет характеристик модели;

- можно определять характеристики многофакторной модели при условии, что объем выборки будет больше количества факторов.

Следует отметить и отрицательные свойства функции Линейн:

- исходные данные факторов должны располагаться в столбцах рядом, представленных одним массивом, каждому столбцу присваивается номер фактора, начиная с лева на право;

- численные значения коэффициентов модели в расчетах располагаются с права на лево;

- функция «Линейн» является матричной, поэтому для получения расчетов надо знать правила получения расчетов в матричном виде.

Для получения расчетов с использованием функции «Линейн» необходимо выполнить следующие действия:

- выделить ячейку;

- вставить знак «=» - признак того, что дальше будет записана формула или функция;

- нажать на значек fx, выбрать статистические функции, выбрать функцию Линейн, ввести диапазон значения Х, ввести диапазон значений У, третью стоку не заполнять, в четвертой строке набрать «истина», ОК;

- в активной ячейке появится одно значение матричной функции Линейн, далее необходимо матричную функцию распространить на все ячейки, для этого надо выделить диапазон матричной функции, в нашем примере три столбца и пять строк, нажать клавишу F2 – для редактирования функции, затем последовательно нажимать не отпуская клавиши Ctrl, Shift, Enter, затем отпустить все три клавиши, расчеты закончены. В справочнике по функции «Линейн» изучите место расположения характеристик модели.

На рис. 1.2 показаны результаты расчетов по функции «Линейн».

-0,03524	1,333333	-11,8333
0,003627	0,138491	4,299932
0,968929	0,339233	#Н/Д
93,55172	6	#Н/Д
21,53175	0,690476	#Н/Д

Рис. 2 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать многофакторную модель следующего вида:

У = -11,83 + 1,33*Х1-0,035*Х2

Используя характеристики модели:

ошибка модели Е= 0,33,

коэффициент детерминации R^2 = 0.96,

критерий Фишера F= 93.55

можно утверждать, что модель является достоверной. Правило проверки достоверности модели будет изложено позже.

С использованием полученной многофакторной модели можно решить поставленную задачу.

Например, определить цену ноутбука, если цена конкурента составит 29,00 тыс. руб., при объеме поставок, равных 50 штукам.

Подставляем в полученную многофакторную модель значения Х1= 29,00, Х2= 50, получаем численное значение цены ноутбука

У = -11,83+1,33*29,00-0,035*50= 24,99 тыс. руб.

Задача решена.

Задача 1.3

Величина спроса на определенный товар в период времени t зависит, прежде всего, от цены этого товара, от цены товаров, производимых конкурентами, а также от реальных доходов потребителей в данный период.

Определить, как зависит спрос на данный товар от величин названных факторов?

Решение

При решении данной задачи возникает вопрос, где взять данные?

Отвечаем. Исходные данные можно взять на сайте Федеральной службы государственной статистики, который находится по адресу: http://www.gks.ru/wps/portal/OSI_NS см. рис. 3.

Рис. 1.3 - Сайт Федеральной службы государственной статистики

На сайте Федеральной службы государственной статистики в разделе официальные публикации имеется раздел «Российский статистический ежегодник», зайдем в этот раздел, найдем «Российский статистический ежегодник за 2009 год», содержание которого представлено на рис. 1.4.

Рис. 1.4 - Содержание Российского статистического ежегодника за 2009 год

Анализ рис. 1.4 показывает, что исходные данные задачи можно найти в соответствующих разделах «ежегодника».

Уточним условие задачи.

Спрос на товар равен розничному товарообороту этого товара.

Реальные доходы населения можно найти в «ежегоднике», розничный товарооборот и цену товара, реализованного в магазине можно взять из статистической отчетности деятельности магазина, цены товара конкурента в данном регионе можно взять из анализа рынка с помощью наблюдений.

Для анализа выберем товарную группу: консервы мясные. Время анализа период 2000 - 2008 годы. Объект исследования – магазин шаговой доступности, расположенный около метро Аннино г. Москва.

Представим исходные данные в таблице 1.3.

Таблица 1.3 - Исходные данные по розничному товарообороту консервов мясных

Годы	Х1 – средняя цена 1 банки консервов, руб.	Х2 – средняя цена 1 банки консервов конкурента, руб.	Х3 – доходы населения в % к 1995 году, %	У – розничный товарооборот консервов тыс. руб.
2000	35	33	87,9	63,00
2001	36	35	95,6	65,00
2002	40	39	106,2	70,00
2003	45	40	122,2	85,00
2004	50	48	135,0	100,00
2005	54	52	151,7	120,00
2006	68	65	172,2	131,00
2007	76	74	193,0	140,00
2008	85	83	196,6	153,00

В таблице 1.3 исходные данные взяты из следующих источников:

Х1 – условные цены магазина шаговой доступности по годам анализа;

Х2 – условные цены магазина конкурента по годам анализа;

Х3 – реальные данные взяты из Российского статистического ежегодника за 2009 год;

У – условные данные значений розничного товарооборота по годам анализа.

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики многофакторной модели, представленной на рис. 5.

0,84785	0,227476	-0,26148	-13,3834
0,275215	1,718887	1,942323	8,395894
0,982981	5,658903	#Н/Д	#Н/Д
96,2624	5	#Н/Д	#Н/Д
9247,884	160,1159	#Н/Д	#Н/Д

Рис. 1.5 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать многофакторную модель следующего вида:

У = -13,38 -0,261*Х1+0,227*Х2+0,847*Х3

Используя характеристики модели:

ошибка модели Е= 5,6,

коэффициент детерминации R^2 = 0,98

критерий Фишера F= 96,26

можно утверждать, что модель является достоверной.

С использованием полученной многофакторной модели можно решить поставленную задачу.

Анализ знаков коэффициентов многофакторной модели показывает о направленности влияния факторов на величину спроса следующим образом:

- с ростом цен на консервы (Х1) спрос на товар уменьшается;

- с ростом цен конкурента (Х2) спрос на товар увеличивается;

- с ростом доходов населения (Х3) спрос на товар увеличивается.

Полученный вывод согласуется с логикой экономического влияния факторов на спрос мясных консервов.

Примечание. Полученный эконометрический анализ многофакторной модели очень упрощен, так как не учитывался фактор времени и мультиколлинеарность (взаимосвязь) факторов в модели.

Задача решена.

Задача 1.4

Средние издержки производства на предприятии в период t зависят в основном от цен и используемого количества производственных ресурсов.

Насколько сильна функциональная зависимость средних издержек производства от названных факторов?

Решение

Уточним условие задачи. В соответствии с бухгалтерским балансом издержки или затраты на производство делятся на постоянные и переменные.

Постоянные издержки включают следующие статьи затрат:

- амортизационные отчисления,

- выплаты процентов за кредит,

- арендная плата,

- оплата труда управленческих работников,

- затраты на обслуживание,

- затраты транспортного отдела предприятия,

- затраты на рекламу,

- расходы за пользование телефонной линией,

- административные расходы.

Переменные издержки включают следующие статьи затрат:

- расход сырья,

- расход материалов,

- расход электроэнергии,

- оплата за каждый выполненный телефонный вызов,

- затраты на оплату труда производственных рабочих.

Исходными данными могут быть бухгалтерская отчетность по статьям затрат за каждый месяц.

Время анализа: один год.

Объем выборки: 12 месяцев.

За каждый месяц можно получить сумму затрат по каждой статье. По этим данным можно найти среднее значение затрат, определить процентное значение по каждой статье затрат от общих затрат.

Если доля затрат по определенной статье затрат будет значительной, допустим больше 0,5, то небольшое изменение этих затрат будет сильно влиять на среднее значение общих затрат.

Если доля затрат по определенной статье затрат будет незначительной, то значительные изменения по этой статье не окажет существенного влияния на среднее значения общих затрат.

Для определения степени связи между переменными можно использовать коэффициент корреляции.

Исходные данные для расчета коэффициента корреляции между затратами на сырье и средними издержками можно разместить в таблице 1.4.

Таблица 1.4 - Исходные условные данные для корреляционно-регрессионного анализа

№ месяца	Цена (руб. за единицу сырья), Х1	Количество сырья (штук), Х2	Затраты сырья, руб, Х3	Среднее значение издержек, руб, У
1	20	100	2000	25000
2	21	150	3150	24000
3	20	98	1960	20000
4	18	120	2160	19000
5	23	110	2530	18000
6	22	105	2310	26000
7	18	113	2034	22000
8	17	120	2040	18000
9	20	102	2040	19000
10	21	101	2121	20000
11	23	98	2254	26000
12	24	99	2376	24000
	Среднее		2247,9	21750

Введем значение таблицы 1.4 в ЕХСЕ1 и вычислим средние значения для Х3 и У с помощью статистической функции =СРЗНАЧ()

Анализ таблицы 1.4 показывает, что среднее значение Х3 составляет

2247,9*100/21750 = 10,3% от среднего значения У, что является незначительным. Можно предположить, что степень связи между Х3 и У будет слабой.

Определим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми переменными с помощью программы корреляция, расположенной в ЕХСЕ1 по адресу: данные, анализ, анализ данных, корреляция.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.5.

Таблица 1.5 - Матрица парных коэффициентов корреляции

	Х1	Х2	Х3	У
Х1	1
Х2	-0,23663	1
Х3	0,436505	0,769779	1
У	0,430116	-0,03858	0,245557265	1

Анализ таблицы 1.5 показывает, что степень связи между Х3 и У составляет 0,24, которое позволяет оценить степень связи как незначительная, так как для данного объема выборки 0,24< r кр = 0.7. Нахождение критического значения коэффициента корреляции r кр покажем позже. Данный вывод согласуется с предварительным анализом.

Для определения формы зависимости между У и Х3 используем линейное уравнение регрессии.

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики однофакторной модели, представленной на рис. 1.6.

2,479126	16177,13
2,852575	6476,225
0,070226	3143,063
0,755306	10
7461548	98788452

Рис. 1.6 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать линейную модель следующего вида:

У = 16177,13 + 2,47*Х3

Используя характеристики модели:

ошибка модели Е= 3143,06

коэффициент детерминации R^2 = 0,07

критерий Фишера F= 0,755

можно утверждать, что модель является недостоверной и влияние Х3 на У статистически не доказана, что согласуется с предварительным анализом.

Для большей убедительности полученных выводов можно построить круговую диаграмму структуры всех затрат в том числе и затрат на сырье за определенный месяц или за год. Исходные условные данные представлены в таблице 1.6.

Таблица 1.6 - Исходные условные данные затрат на производство продукции предприятия за январь месяц

№ п/п	Статьи затрат	Сумма, руб.	Процент к итогу, %
1	Постоянные издержки включают следующие статьи затрат:
2	- амортизационные отчисления,	12000	5,85
3	- выплаты процентов за кредит,	2000	0,97
4	- арендная плата,	10000	4,87
5	- оплата труда управленческих работников,	150000	73,17
6	- затраты на обслуживание,	10000	4,87
7	- затраты транспортного отдела предприятия,	10000	4,87
8	- затраты на рекламу,	2000	0,97
9	- расходы за пользование телефонной линией,	1000	0,48
10	- административные расходы.	5000	2,43
11	Переменные издержки включают следующие статьи затрат:
12	- расход сырья,	2000	0,97
13	- расход материалов,	1000	0,48
14	- расход электроэнергии,	5000	2,43
15	- оплата за каждый выполненный телефонный вызов,	2000	0,97
16	- затраты на оплату труда производственных рабочих.	200000	97,56
	Всего	205000	100%

Рис. 1.7 - Структура затрат на производство продукции

На рис. 1.7 показана структура затрат на производство продукции в соответствии с таблицей 1.6.

Анализ рис 1.7 показывает, что доля затрат на сырье составляет 0,97% от всех затрат, что мало влияет на среднее значение затрат. Полученный вывод согласуется с предварительным анализом.

Задача решена.

Задача 1.5

Допустим, что объем сбыта продукции предприятия (У) положительно зависит от затрат на рекламу (Х1) и индекса "чистоты" производимой продукции (Х2), который должен быть для соответствующего предприятия важным "экологическим индикатором".

Необходимо определить функциональную зависимость величины (У) от факторов (Х1) и (Х2).

Решение задачи аналогично решению задачи 3. Затруднения возникнут при определении индекса «чистоты». В качестве индекса чистоты можно взять отношение количество отходов (тонн), нарушающих экологию, деленное на объем произведенной продукции (тонн)

Решение задачи оформить в виде гиперссылки. (Для разработчиков)

Решение задачи

Представим исходные данные в таблице 1.7.

Таблица 1.7 - Исходные (условные) данные по годам зависимости объема реализованной продукции от двух факторов

Годы	Х1 – затраты на рекламу, тыс. руб.	Х2 – индекс чистоты продукции (тонн отходов/тонн продукции)	У – объем реализованной продукции, тонн.
2000	35	0,3	87,9
2001	36	0,2	95,6
2002	35	0,2	106,2
2003	45	0,3	122,2
2004	30	0,2	135,0
2005	54	0,1	151,7
2006	60	0,05	172,2
2007	40	0,03	193,0
2008	50	0,02	196,6

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики двухфакторной модели, представленной на рис. 1.7.

-312,213	0,430519	170,1942
80,09584	0,868035	45,94975
0,814558	20,31758	#Н/Д
13,17756	6	#Н/Д
10879,5	2476,823	#Н/Д

Рис. 1.7 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать линейную модель следующего вида:

У = 170,194+0,4305*Х1-312,21*Х2

Приводим характеристики модели:

ошибка модели Е= 20,31

коэффициент детерминации R² = 0,81

критерий Фишера F= 13,17

табличное значение критерия Фишера

F(альфа=0,05, m₁=k-1=3-1=2; m₂=n-k=9-3=6) =5,1

Так как F= 13,17> F(альфа=0,05, m₁=k-1=3-1=2; m₂=n-k=9-3=6) =5,1, то модель является достоверной с вероятностью 0,95.

Знаки коэффициентов уравнения регрессии показывают, что значения У прямо пропорциональны значениям Х1 и обратно пропорциональны значениям Х2, что согласуется с логикой влияния факторов Х1 и Х2.

Критерии Стьюдента, рассчитанные для каждого коэффициента:

ta₁= 0,43/0,86 = 0,5; ta₂ = | -312/80,09|= 3,9

позволяют утверждать:

- фактор Х1 не оказывает существенного влияния на У, так как

ta₁= 0,43/0,86 = 0,5 < t (альфа=0,05, m=n-k= 9-3=6)=2,44

- фактор Х2 оказывает существенное влияние на У, так как

ta₂ = | -312/80,09|= 3,9> t (альфа=0,05, m=n-k= 9-3=6)=2,44

Можно утверждать, что факторы Х1 и Х2 объясняют 81% изменений У, так как коэффициент детерминации R² = 0,81

Доля влияния фактора Х₁ на У составляет

R²*ta₁² /(ta₁²+ta₂²) = 0,81*0,5²/(0,5² + 3,9² ) = 0,013

Доля влияния фактора Х₂ на У составляет

R²*ta₂² /(ta₁²+ta₂²) = 0,81*3,9²/(0,5² + 3,9² ) = 0,79

Задача решена.

Задача 1.6

Предприятия отрасли, работающие примерно в одинаковых условиях, имеют различные результаты хозяйственной деятельности.

Как функционально зависит рентабельность предприятия от таких определяющих факторов, как его удельный вес на рынке товаров, расходы на маркетинг, научные исследования и развитие?

Решение

Представим исходные данные в таблице 1.8.

Таблица 1.8 - Исходные (условные) данные по годам зависимости рентабельности от четырех факторов

№ предпри-ятия	Х1 – удельный вес на рынке товаров, %	Х2 – расходы на маркетинг, тыс. руб.	Х3 – затраты на научные исследования, тыс. руб.	Х4 – затраты на развитие, тыс, руб.	У – рентабельность, %
1	5	12	120	50	8
2	2	8	110	25	7
3	3	9	109	30	9
4	4	10	120	40	10
5	5	11	130	80	12
6	10	15	200	90	20
7	15	20	205	95	25
8	10	18	150	80	15
9	5	10	110	20	10

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики двухфакторной модели, представленной на рис. 1.8.

0,030806	0,038489	-1,16584	2,000017	7,307049
0,030968	0,037298	0,512605	0,634916	5,480289
0,985894	1,016306	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
69,89142	4	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
288,7574	4,131514	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Рис. 1.8 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать линейную модель следующего вида:

У = 7,3+2,00*Х1-1,16*Х2+0,038*Х3+0,0308*Х4

Приводим характеристики модели:

ошибка модели Е= 1,01

коэффициент детерминации R² = 0,98

критерий Фишера F= 69,8

табличное значение критерия Фишера

F(альфа=0,05, m₁=k-1=5-1=4; m₂=n-k=9-5=4) =6,3

Так как F= 69,8> F(альфа=0,05, m₁=k-1=5-1=4; m₂=n-k=9-5=4) =6,3, то модель является достоверной с вероятностью 0,95.

Задача 1.7

Различия между избирательными округами в удельном весе голосов, отданных за определенную партию, зависит, прежде всего, от поло -возрастного состава населения, удельного веса избирателей-верующих, уровня образования населения, а также от привлекательности программ и кандидатов конкурирующих партий.

Какую форму имеет функциональная зависимость?

Решение задачи аналогично решению задачи 1.3 с добавлением графического представления зависимой переменной от указанных факторов.

Затруднения возникнут при определении численных значений факторов, например, как определить численные значения показателя: привлекательность программ?

Очевидно, привлекательность программ можно определить с помощью опроса населения по определению процента голосов, отданных за выбираемую программу.

Привлекательность кандидатов в процентах можно оценивать по проценту отданных голосов по следующим показателям: внешность, коммуникационные способности в общении с населением, ораторские данные, адекватная реакция на влияние внешней среды, морально-психологические качества. Оценку этих показателей можно осуществить экспертным методом.

Решение

Исходные данные по избирательных округам представлены в таблице 9.

Таблица 9 - Данные по избирательным округам для одной партии

№ избирательного округа	Х1 - % женщин, %	Х2- средний возраст населения округа, годы	Х3 – процент верующих,%	Х4- процент с высш. обр.среди экономич актив насел.	Х5 – привлекательность программ конкурирующих партий, %	Х6 – привлекательность кандидатов конкурирующей партии, %	У - % голосов, отданных за партию
1	60	31	50	27	30	25	30
2	65	31	55	27,1	25	26	35
3	64	32	56	27,5	33	28	36
4	65	32	54	27,6	35	24	34
5	66	33	55	27,	36	23	35
6	65	33	58	7,7	38	22	38
7	67	34	60	27,8	39	26	40
8	62	34	61	27,7	40	30	38
9	61	33	60	27,6	38	25	36
10	62	32	58	27,5	39	24	32
11	63	31	59	27,4	35	21	33
12	60	30	57	27,3	33	22	34
13	59	30	58	27,2	32	20	31

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики двухфакторной модели, представленной на рис. 1.9.

0,286501	-0,14286	-0,12918	0,509393	0,618592	0,423569	-39,3893
0,273191	0,234186	0,090218	0,184457	1,013386	0,259654	17,10864
0,875413	1,443203	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
7,026537	6	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
87,81068	12,49701	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Рис. 1.9 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать линейную модель следующего вида:

У = -39,3+0,42*Х1+ 0,61*Х2+0,50*Х3-0,12*Х4-0,14*Х5+0,28*Х6

Приводим характеристики модели:

ошибка модели Е= 1,44

коэффициент детерминации R² = 0,87

критерий Фишера F= 7,02

табличное значение критерия Фишера

F(альфа=0,05, m₁=k-1=7-1=6; m₂=n-k=13-7=6) =4,28

Так как F= 7,02> F(альфа=0,05, m₁=k-1=7-1=6; m₂=n-k=13-7=6) =4,28, то модель является достоверной с вероятностью 0,95.

Задача 1.8

Как вероятность того, что семья купит в следующем квартале товары длительного пользования (видеомагнитофон, автомобиль и пр.), функционально зависит от таких основных факторов, как величина бюджета семьи, доход на одного человека, срок использования, имеющегося в семье аналогичных товаров длительного пользования, уровень образования, вероисповедания, общая коньюктура рынка?

Решение задачи аналогично решению задачи 1.3, однако трудности возникнут при сборе данных. Очевидно, необходимо воспользоваться данными бюджетных исследований семей, которые проводит Федеральная служба государственной статистики.

Официальный сайт» Федеральная служба государственной статистики» находится по адресу: http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/

Решение

Исходные данные по избирательных округам представлены в таблице 1.9

Таблица 1.9 - Данные по избирательным округам для одной партии

№ семьи	Х1 – бюджет семьи в год, тыс. руб.	Х2- доход на 1 члена сеьм, тыс. руб.	Х3 – срок исполльзования автомобиля, годы	Х4- уровень образования главы семейства: 1- высшее,2- среднее	Х5 – вероисповедание: 1- верующий, 2- не верующий	Х6 – коньюктура рынка: 1 – благоприятная, 2- средняя, 3 – не благоприятная	У – вероятность покупки автомобиля
1	600	200	5	1	1	1	0,2
2	620	150	10	1	2	1	0,5
3	650	160	15	1	1	1	0,8
4	700	250	20	1	2	2	0,5
5	750	260	2	2	1	2	0,2
6	755	261	5	2	2	2	0,4
7	760	270	3	2	1	3	0,3
8	800	300	2	2	2	3	0,2
9	810	310	10	1	1	3	0,6
10	820	300	15	1	2	1	0,7
11	830	320	20	1	1	1	0,8
12	840	330	2	2	2	1	0,6
13	850	340	3	2	1	2	0,7

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики двухфакторной модели, представленной на рис. 1.10.

-0,09741	-0,07706	-0,1011	0,010817	-0,00396	0,004264	-1,31843
0,057313	0,081799	0,176791	0,011948	0,002327	0,001768	0,682899
0,800431	0,141269	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
4,010793	6	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
0,480258	0,119742	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Рис.1.10 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать линейную модель следующего вида:

У = -1,31+0,004*Х1-0,003*Х2+0,01*Х3-0,101*Х4-0,077*Х5-0,097*Х6

Приводим характеристики модели:

ошибка модели Е= 0,14

коэффициент детерминации R² = 0,80

критерий Фишера F= 4,02

табличное значение критерия Фишера

F(альфа=0,05, m₁=k-1=7-1=6; m₂=n-k=13-7=6) =4,28

Так как F= 4,02< F(альфа=0,05, m₁=k-1=7-1=6; m₂=n-k=13-7=6) =4,28, то модель является недостоверной, очевидно в следствии сильной мультиколлинарности факторов.

С помощью программы Ехсе1: анализ данных, корреляция получим матрицу коэффициентов корреляции (см. рис. 1.11).

	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	У
Х1	1
Х2	0,954612	1
Х3	-0,13751	-0,17958	1
Х4	0,4494	0,435853	-0,81194	1
Х5	0,03546	-0,00458	0,05401	0,071429	1
Х6	0,314548	0,349602	-0,38172	0,460283	-0,11878	1
У	0,307809	0,167732	0,624552	-0,43095	-0,07182	-0,4479	1

Рис. 1.11 - Матрица коэффициентов корреляции

Анализ рис. 1.11 показывает, сильно связаны между собой следующие факторы: Х1 и Х2, Х3 и Х4. У сильно связан с фактором Х3. Поэтому, вероятность покупки автомобиля в основном зависит от времени эксплуатации автомобиля.

С помощью функции Ехсе1 «Линейн» определим характеристики однофакторной модели, представленной на рис. 1.12.

0,020351	0,324666
0,007673	0,083242
0,390065	0,182398
7,034705	11
0,234039	0,365961

Рис. 1.12 - Результаты расчетов с помощью функции Линейн

Используя расчеты с помощью функции Линейн можно записать линейную модель следующего вида:

У = 0,32 + 0,0203*Х3

Используя характеристики модели:

ошибка модели Е= 0,18

коэффициент детерминации R^2 = 0,39

критерий Фишера F= 7,03

табличное значение критерия Фишера

F(альфа=0,05, m₁=k-1=2-1=1; m₂=n-k=13-2=11) =4,84

Так как F= 7,03> F(альфа=0,05, m₁=k-1=2-1=1; m₂=n-k=13-2=11) =4,84, то модель является достоверной c вероятностью 0,95.

Можно утверждать, что модель является достоверной и влияние Х3 на У статистически доказанной, что согласуется с предварительным анализом.

При этом, если срок использования автомашины составляет 10 лет, то верояность покупки автомашины составит

У = 0,32 + 0,0203*Х3 = 0,32+0,02*10= 0,32+0,2 = 0,52

Задача решена.

Задача 1.9

Необходимо выяснить структуру цен квартир в Москве в текущем году и произвести их прогноз на следующий год.

Пояснение. Дом или квартира могут иметь следующие характеристики, которые влияют на их цену: число и площадь комнат, расстояние от центра города, качество окружающей среды (загрязнение воздуха, воды, шум), красивый вид из окна, близость к: парку, реке или метро и др.

Решение задачи дано в статье: Цены квартир в Москве. Я. Р. Магнус, A.A. Пересецкий, "Прикладная эконометрика" №1, 2010 (PDF, 637 Кб)

http://www.marketds.ru/download/flats-mp2R.pdf

Фрагмент статьи представлен на рис. 1.8.

Рис. 1.13 - Фрагмент статьи Цены квартир в Москве

Задача 1.10

Имеется словесно-описательная модель зависимости спроса от нескольких факторов.

Спрос - это отношение между ценой товара и его количеством, которое покупатели хотят и в состоянии приобрести. Закон спроса - чем ниже цена товара, тем большее его количество покупатели хотят и в состоянии приобрести.[1]

Факторы спроса и предложения

1) Изменение объема спроса (предложения)

2) Изменение функции спроса (предложения)

Определенны следующие факторы, влияющие на приобретение товаров:

1. Располагаемый доход

2. Цены товаров, которые обслуживают сходную потребность так называемых товарозаменителей.

3. Цены товаров, увеличивающих удовлетворение или выгоду от потребления данного товара.

4. Условие ожидания изменения цен в будущем

5. Численность населения

6. Вкусы и предпочтения потребителей

Согласуется с предпосылкой о поведении индивидуума, что означает, что потребители стремятся максимизировать чистый доход или выигрыш от потребления товаров. Зависимость спроса от его факторов называется функцией спроса.

Неценовые факторы, влияющие на изменение спроса:

1. Изменение в полезности вещи

2. Изменение доходов (больше купить за такую же цену)

3. Изменение цены на товарозаменители (при снижении цен спрос переключается)

Эффект дохода - показывает, как изменяется реальный доход потребителя при изменении цен, данный доход показывает за счет какого понижения цены на товар человек стал богаче.

Эффект замещения - демонстрирует взаимосвязь между относительными ценами товаров и зависимостью спроса потребителей.

Взаимодействие эффекта дохода с эффектом замещения возникает в ситуации с нормальными товарами, те товарами, спрос на которые увеличивается при увеличении доходов потребителя. Эффект дохода и эффект замещения действуют в противоположных направлениях, с одной стороны изменение цен на низкокачественные товары будет вести к увеличению спроса на них (эффект замещения), с другой стороны из-за эффекта дохода потребитель станет богаче, а богатый человек не будет приобретать товары низкого качества. Если они занимают незначительное место в общем объеме потребительского дохода, то эффект замещения больше эффекта дохода и потребитель покупает большее количество товаров низкого качества.

Но в экономической теории может возникнуть ситуация, когда понижение цены на товар приводит к понижению спроса на него и наоборот. Такой эффект называется эффектом Гиффена.

"Парадокс Гиффена" заключается в том, что с ростом цены на какой либо товар первой необходимости, лица с низким уровнем доходов увеличивают его закупки, отказываясь от других видов потребления и сводя свое потребление в основном к потреблению данного товара.

"Эффект Веблена" предполагает понижение спроса на престижные товары в силу падения цен на них. В нормальных условиях существует зависимость между ценой и величиной спроса, которая приводит к отрицательному наклону кривой спроса.

Предложение - это количество товара, которое продавцы готовы предложить на рынке по каждой возможной цене в единицу времени.

Объем предложения - это максимальное количество товара, которое продавцы готовы предложить на рынке в единицу времени, при определенных условиях.

1. Котлер Ф. Основы маркетинга. Пер. с англ. – М.: Прогресс, 2002.

2. http://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=44961

Данная задача является слабо формализованной, повышенной сложности, предназначенная для самостоятельно решения.

Необходимо сформулировать гипотезу и проверить ее на фактических или условных данных.

Задача 1.11

Имеются следующие данные по Московской области

РОЗНИЧНАЯ ТОРГОВЛЯ

Оборот розничной торговли в январе-сентябре 2010 года составил 731,9 миллиарда рублей, что на 6,3 процента больше, чем за соответствующий период 2009 года. Оборот розничной торговли на душу населения в сентябре составил 12469 рублей см. таблица 1.10..

Таблица 1.10 - Динамика оборота розничной торговли

	Миллионов рублей	В % к:
		соответствующему периоду предыдущего года		предыдущему месяцу
2009 год
Январь	74382,4	113,2	82,5
Февраль	66492,9	99,9	88,4
Март	69945,3	88,4	103,5
Январь-март	210820,6	99,7	х
Апрель	68318,2	85,5	96,8
Май	72667,8	89,9	105,5
Июнь	76138,7	93,6	103,6
Январь-июнь	427945,3	94,3	х
Июль	76348,1	90,4	99,3
Август	75739,4	87,7	99,1
Сентябрь	75371,4	92,2	99,7
Январь-сентябрь	655404,2	92,8	х
Октябрь	77691,2	91,5	103,3
Ноябрь	74435,4	87,7	95,2
Декабрь	86337,4	89,6	115,6
Январь-декабрь	893868,2	92,0	х
2010 год
Январь	78356,0	98,1	90,2
Февраль	69612,8	97,8	88,3
Март	76997,2	104,1	109,9
Январь-март	224966,0	100,01	х
Апрель	80445,3	111,9	104,1
Май	82718,6	108,7	102,4
Июнь	84099,6	106,0	101,1
Январь-июнь	472229,5	104,4	х
Июль	88275,4	111,7	104,7
Август	87461,0	111,4	98,8
Сентябрь	83946,2	106,0	94,9
Январь-сентябрь	731912,1	106,3	х

В январе-сентябре 2010 года оборот розничной торговли на 91,3 процента формировался торгующими организациями и индивидуальными предпринимателями, осуществляющими деятельность в стационарной торговой сети (вне рынка); доля рынков составила 8,7 процента (в январе-сентябре 2009 года – соответственно, 90,5 и 9,5 процента).

http://msko.fsgs.ru/public/DocLib/ Доклад о социально-экономическом положении Московской области за январь-сентябрь 2010 года.htm

Необходимо определить тенденцию изменения оборота розничной торговли.

Решение

Решение задачи не должно вызывать затруднений, предлагается выполнить его самостоятельно.

Задача 1.12

Имеются данные по РФ, представленные на рис. 1.14