2.1 Методические указания

При решении задач с помощью метода множителей Лагранжа задаются целевая функция f и функция ограничений j_i. Задача сводится к нахождению х₁, х₂, ..., x_n при ограничениях j_i(x₁,...x_n)=b_i, при которых функция имеет точку экстремума.

Идея метода заключается в преобразовании функции цели к некоторому единому решению, для которого производится решение задачи и определяется условный экстремум. Рассмотрим функцию, когда число переменных равно двум.

f(x₁,x₂) (2.1)

j_i(x₁,x₂)=0 (2.2)

Для заданных условий функция Лагранжа имеет вид

L(x₁,x₂,l)=f(x₁,x₂)+l[b-j(x₁,x₂)], (2.3)

где l - множитель Лагранжа, безусловный экстремум, который совпадает с условным экстремумом функции f(x₁,x₂), и количество значений l зависит от числа ограничений.

Таблица 2.4 – Исходные данные

Напряжение Uн, кВ	Частота вращения n, об/мин	Номинальная мощность		Величины (кВт)
		активная Рн, кВт	реактивная Qн, квар	Д1	Д2
10	1000	1250 1600 4000	645 817 2010	6,77 7,58 10,6	6,98 7,56 11,8
	750	4000 3200	2010 1615	14,2 12,2	13,0 12,3
	600	1250 1600 3200 4000	637 820 1620 2010	8,6 9,43 10,3 11,3	6,05 8,24 13,6 13,6
	500	1250 3200 4000	642 1620 2039	9,08 9,72 16,4	8,53 11,2 15,4
	375	1600 3200	825 1625	10,3 14,7	10,4 14,7
	300	1250 3200	645 1620	9,71 14,0	8,07 15,1
	250	1250 1600 3200	650 825 1635	9,96 11,1 18,2	8,83 9,51 14,4
6	1000	1000 6300	511 3150	5,09 14,6	3,99 13,1
	750	6300 2500 800	3150 1265 407	18,1 11,2 4,9	14,8 10,2 4,57
	600	6300 2500 1000	3150 1265 511	17,1 10,9 7,66	14,4 8,46 5,38
	500	6300 2500 1000 800 400	3160 1265 511 412 209	21,0 11,5 6,61 6,48 3,88	16,3 9,36 5,88 5,54 2,97
	250	1000 2500	520 1270	10,0 15,9	7,19 11,7
	300	2500 800 400	1270 416 211	15,3 7,76 5,13	10,7 6,00 5,08
	375	800	415	7,07	5,25
	187	400	216	5,97	5,38
	167	800 400	423 216	10,5 7,64	8,3 4,25

 

Таким образом, задача определения условного экстремума функции f(x₁,x₂) находится определением обычного экстремума функции L, т.к. в ОДР функцию f(x₁,x₂) можно заменить функцией Лагранжа.

Для решения функции Лагранжа находятся частные производные по параметру х₁, х₂, l и приравниваются к 0. Это необходимое условие экстремума.

(2.4)

Решение системы (2.4) дает необходимое условие решения задачи. Для того чтобы найти точки экстремума необходимо проанализировать 2-ю производную d²L<0(max), d²L>0(min). Недостатком этого метода является невозможность решения целевых функций с ограничением в виде неравенств.

Последовательность решения:

а) составляется функция Лагранжа

;

б) для нахождения точек экстремума составляется система уравнений частных производных:

в) далее из всех точек выбираются такие, в которых функция имеет точку экстремума при заданных ограничениях.

В энергетике метод множителей Лагранжа применяется при расчетах вопросов компенсации реактивной мощности, затрат на выработку электроэнергии и т.д.:

а) в общем случае переменная часть затрат на генерацию реактивной мощности может быть определена

3 = , (2.5)

где Q_i - генерируемая источником реактивная мощность;

3_li - удельные затраты на 1 Мвар генерируемой мощности (у.е./Мвар);

3_2i - удельные затраты на 1 Мвар² генерируемой мощности (у.е./Мвар²);

б) максимальная величина реактивной мощности, которую можно получить от синхронного двигателя

Q_мi = a_мМQ_мi, (2.6)

где a_м » 1,39;

М - количество синхронных двигателей в группе имеющих одинаковую мощность и скорость вращения;

в) составляющие затрат определяются по формулам

(2.7)

3₁ = С_о ,

3₂ = C_o ;

г) для решения задачи необходимо составить функцию Лагранжа в виде:

L(Х1,Х2,...Хп,l₁,l₂,....l_m)=f(X₁X₂....X_n+ (2.8)

где m - число уравнений ограничений.

Для данной задачи функция Лагранжа имеет вид

L(Q₁,Q₂,...Q_N,l) = . (2.9)

Для нахождения условной точки экстремума определим частные производные

(2.10)

,

.

Из полученной системы уравнений определим

(2.11)

и

. (2.12)

д) оптимальную реактивную мощность Q_оптi необходимо сверить с Q_мi. Если для какого-либо СД Q_оптК>Q_мк, то в качестве Q_оптК принимается Q_мк. В этом случае для остальных СД следует вновь определить неопределенный множитель Лагранжа l¹.

; , (2.13)

где Q¹_А = Q_А-Q_мк и оптимальную реактивную мощность от остальных СД

Q_iопт = . (2.14)

Если Q_iопт£Q_iм, то принимается величина Q_iопт. При этом величина множителя Лагранжа l не изменяется;

е) правильность расчета Q_iопт проверяется по условию баланса реактивной мощности в узле

. (2.15)