6.2. Определение широкополосного случайного процесса. Шумовая полоса цепи
Литература: [Л.1], стр. 259-261
[Л.2], стр. 448-451
В большинстве практических задач преобразования случайных процессов линейными цепями эффективная ширина энергетического спектра СП существенно превышает полосу пропускания цепи. Такой случайный процесс принято называть широкополосным. При этом, в пределах полосы пропускания цепи энергетический спектр приблизительно равномерен, что позволяет представить его моделью «белого шума». Вместе с тем, при определении характера входного СП (широкополосный он или нет) требуется учтение понятия ширины полосы пропускания линейной цепи.
При
рассмотрении линейных инерционных
цепей в качестве полосы пропускания
широко используется диапазон частот,
в пределах которого модуль
амплитудно–частотной характеристики
спадает до уровня 
от ее максимума. Такую полосу, как
известно, принято обозначать 
или 
.
Для решения задач преобразования
широкополосного СП линейной цепью
вводят понятие шумовой полосы цепи.
На
рис. 6.2 показаны спектр входного
широкополосного СП, амплитудно–частотная
характеристика цепи и спектр выходного
случайного процесса. Будем полагать,
что входной СП – широкополосный,
эффективная ширина спектра которого
составляет 
,
причем
.
Рассмотрим
идеальный фильтр (для приведенного
рисунка - полосовой), амплитудно –
частотная характеристика которого
имеет вид
6.12)где
– максимальное значение АЧХ реальной
цепи (рис. 6.2б).
Как
следует из рисунка в пределах
входной процесс можно заменить моделью
«белого шума» со спектральной плотностью
.
При воздействии на идеальный фильтр
случайного процесса со спектральной
плотностью 
случайный процесс на выходе цепи будет
иметь энергетический спектр:
.
Мощность процесса на выходе идеального фильтра
.
(6.13)
С другой стороны мощность СП на выходе реальной цепи
.
(6.14)
Если предъявить требование равенства мощностей на выходе идеальной и реальной цепей
,
(6.15)
то полоса пропускания идеальной цепи и будет характеризовать шумовую полосу реальной цепи
.
(6.16)
Тогда широкополосным случайным процессом является процесс, эффективная ширина спектра которого гораздо больше шумовой полосы цепи.
Отметим
отличие 
от
.
Как следует из (6.16)
зависит от всей площади под кривой 
и, следовательно, позволяет рассчитать
полную мощность процесса на выходе цепи
при равномерном спектре процесса на
входе. Величина же
определяется по условному критерию и
не зависит от поведения АЧХ за пределами
полосы пропускания.
6.3. Прохождение широкополосного случайного процесса через апериодические цепи
Литература: [Л.1], стр. 259-260
[Л.2], стр. 448-450
Рассмотрим
задачу преобразования широкополосного
случайного процесса вида «белого шума»
со спектральной плотностью
интегрирующей 
– цепью (рис. 6.3). Как известно, амплитудно
–частотная характеристика цепи
описывается выражением
,
где
– постоянная времени цепи.
В
первую очередь найдем шумовую полосу
цепи. Воспользовавшись (6.16) при 
,
получим
.
(6.17)
Таким образом, шумовая полоса интегрирующей цепи конечна. Это вполне объяснимо, так как интегрирующая цепь является фильтром нижних частот.
Найдем
характеристики процесса на выходе цепи,
если на его вход поступает процесс с
энергетическим спектром 
.
Тогда, в соответствии с (6.9) энергетический
спектр процесса на выходе цепи будет
равен
.
(6.18)
Автокорреляционная функция выходного процесса вычисляется в соответствии с (6.10)
.
(6.19)
На рис. 6.4 изображены автокорреляционные функции и энергетические спектры входного и выходного случайных процессов. Из этих рисунков следует, что интегрирующая цепь вносит
корреляцию
значений случайного процесса. Очевидно,
дисперсия (средняя мощность) случайного
процесса на выходе цепи
.
(6.20)
Обратимся
теперь к дифференцирующей
– цепи (рис. 6.5).
Амплитудно – частотная характеристика цепи описывается выражением
.
При
значение 
.
Таким
образом, дифференцирующая цепь является
фильтром высоких частот и поэтому
шумовая полоса цепи неограниченна.
Действительно:
.
Энергетический спектр СП на выходе дифференцирующей цепи:
.
(6.21)
На
рис. 6.6 изображены энергетические спектры
входного и выходного случайных процессов.
Очевидно, дисперсия
.
Полученные
результаты вполне объяснимы, т.к.
дифференцирующая цепь по определению
не относится к узкополосным цепям, т.к.
для этой цепи 
.