48 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
6.1.
Пусть 
и 
,
тогда траекторией будет прямая линия,
рис. 5: 
.
6.2.
При
и 
,
траекторией будет эллипс, ( рис. 6):
(x2/A2)+(y2/B2)=1.
При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.
49. Математический маятник
Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся наневесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения[1]. Период малых собственных колебанийматематического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
и не зависит[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.
Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.
Уравнение колебаний маятника
Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида
где 
―
положительная константа, определяемая
исключительно из параметров маятника.
Неизвестная функция 
―
это угол отклонения маятника в момент 
от
нижнего положения равновесия, выраженный
в радианах; 
,
где 
―
длина подвеса, 
― ускорение
свободного падения.
Уравнение малых колебаний маятника
около нижнего положения равновесия
(т. н. гармоническое уравнение) имеет
вид:
.
Вопрос 50 Физический маятник
Э
Рис. 8
то твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела. На маятник, отклоненный на малый угол φ действует момент силы, который сообщает угловое ускорение.
.
Решением его будет
.
Период колебания
,
(15)
где L = J/ml - приведенная длина физического маятника; L - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебания данного физического маятника.
51 Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических) и его решение.
Автоколебания.
Затухающие колебания — колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.
Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяется. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы
где
s — колеблющаяся величина, описывающая
тот или иной физический процесс, δ =
const — коэффициент затухания, (ω0 —
циклическая частота свободных незатухающих
колебаний той же колебательной системы,
т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь
энергии) называется собственной частотой
колебательной системы. Решение уравнения
рассмотрим в виде
(7.1) где u=u(t).
После нахождения первой и второй производных и их подстановки в (1) получим
Решение
уравнения зависит от знака коэффициента
перед искомой величиной. Пусть этот
коэффициент положителен:
(7.2)
Тогда получим уравнение решением которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий
