§ 12. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вновь будем считать, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<р<1). Чтобы найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа , другими словами, чтобы найти вероятность осуществления неравенства , надо воспользоваться формулой: .

Пример 12.1. Вероятность того, что деталь не стандартна, р=0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности р=0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03,

Решение: По условию, n=400; р=0,1; q= 0,9; =0,03. Требуется найти вероятность . Пользуясь формулой , имеем:

. По таблице приложения 2 находим Ф(2)=0,4772.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р=0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.

Глава 2: Случайные величины

§ 1. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины

Рассмотрим события, состоящие в появлении того или иного числа. При бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возмож­ных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X=x_l, Х=х₂, ..., X =х_n образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице.

Пример 1.1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение:

X	0	1	50
P	0,89	0,1	0,01

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Введем операции над случайными величинами. Пусть имеются две случайные величины Х и У, возможными значениями которых являются соответственно х₁, х₂, х₃, … ,х_n и у₁, у₂, у₃, … , у_n.

Суммой Х+У случайных величин Х и У называется случайная величина Z, возможные значения которой есть х₁+у₁, х₁+у₂, х₁+у₃ … , х₁+у_j, … , х₂+у₁, х₂+у₂, х₂+у₃, …, х₂+у_j, … , х_i+у₁, х_i+у₂, х_i+у₃, … , х_i+у_j, … , х_n+у_n.

Это определение следует понимать так: в результате опыта, в котором случайная величина Х, может принять то или иное значение, было получено число х_i (конкретное значение величины Х), а в результате опыта, в котором уже случайная величина У то или иное значение, было получено число у_i (конкретное значение величины У), после чего полученные числа складываются. Число х_i+y_i и является одним из возможных значений случайной величины Z=X+Y.

Пусть случайные величины Х и У независимы и найдем вероятность появления значения х_i+у_j случайной величины Z=X+Y. Для появления указанного значения необходимо, чтобы с вероятностью р_i появилось значение х_i случайной величины Х и с вероятностью q_j появилось значение у_i случайной величины У. Таким образом, для появления значения х_i+у_j необходимо одновременное наступление двух событий Х= х_i и У= у_j. На основании теоремы умножения для независимых событий заключаем, что вероятность появления значения х_i+у_j равна р_iq_j, т.е. Р(Z=х_i+у_j)=р_iq_j.

Произведением ХУ случайных величин Х и У называется случайная величина Z, возможные значения которой есть х₁у₁, х₁у₂, х₁у₃, … , х₂у₁, х₂у₂, х₂у₃, …, х_iу_j, … , х_nу_m.

Очевидно, что вероятность появления значения х_iу_j равна р_iq_j, т.е. Р(Z=х_iу_j)=р_iq_j.

Произведением CX случайной величины Х на постоянную С называется случайная величина Z, возможные значения которой есть Сх₁, Сх₂, Сх₃, …, Сх_i, …, Сх_n.

Можно показать, что вероятность появления значения Сх_i равна р_i, т.е. Р(Z=Сх_i)=р_i.

Пример 1.2. Дискретные независимые случайные величины Х и У заданы распределениями:

Х	1	3		У	2	4
Р	0,3	0,7		Р	0,6	0,4

Найти распределение случайной величины Z=X+Y.

Решение:

Для того чтобы составить распределение величины Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения Х со всеми возможными значениями У: z₁=1+2=3; z₂=1+4=5; z₃=3+2=5; z₄=3+4=7.

Найдем вероятности этих возможных значений:

Р(Z=1+2=3)=0,3∙0,6=0,18;

Р(Z=1+4=5)=0,3∙0,4=0,12;

Р(Z=3+2=5)=0,7∙0,6=0,42;

Р(Z=3+4=7)=0,7∙0,4=0,28.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z=z₂=5 и Z=z₃=5 (0,12+0,42=0,54):

Z	3	5	7
P	0,18	0,54	0,28