Раздел 3: Исследование операций и искусство организационного управления

Тема 3.1. Линейное программирование: алгебраический метод решения. Модифицированный симплекс-метод. Определение двойственной задачи. Транспортная модель, сетевая модель.

Содержание вопросов

Алгебраический метод решения. Модифицированный симплекс-метод. Определение двойственной задачи. Транспортная модель, сетевая модель.

Вопросы и задания для самостоятельной работы:

1. Подготовить ответы на контрольные вопросы по теме 3.1.:

1.1. Нахождение допустимого базисного плана для задачи линейного программирования?

1.2. Модифицированный симплекс-метод в программировании?

1.4. Теоремы двойственной задачи и их применение?

1.5. Двойственный симплекс-метод. Критерий оптимальности?

1.6. Транспортная задача в матричной постановке и ее свойства?

1.7. Критерий оптимальности для транспортной задачи в матричной постановке?

1.8. Метод потенциалов для решения транспортной задачи?

1.9. Графы, сети и потоки. Транспортная задача в сетевой постановке?

1.10. Метод потенциалов для решения транспортной задачи в сетевой постановке?

1.11. Задача о кратчайшем пути в сети?

2. Тестовые задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 3.1.

2.1.Нахождение допустимого базисного плана для задачи линейного программирования:

А. идея метода минимизации невязок состоит в построении вспомогательной задачи, для которой можно в явном виде указать исходный базисный план и решении ее с помощью процедуры симплекс-метода;

Б. для решения вспомогательной задачи используется процедура модифицированного симплекс-метода;

В. в результате 0-этапа получаем допустимый базисный план и соответствующие ему матрицу и вектор;

Г. выполняется 1-этап. Стандартная итерация алгоритма-выполняется для очередного базисного плана. Выполняется проверка оптимальности текущего базисного плана.

2.2. Модифицированный симплекс-метод:

А. вычислительная схема симплекс-метода, основанная на преобразовании обратных матриц, названа в 1951г. Канторовичем Л.В. модифицированным симплекс-методом;

Б. вычислительная схема модифицированного симплекс-метода состоит из системы таблиц, из которых первая является общей для всех итераций и служит для получения строки оценок текущего базисного плана, а вторая-соответствует допустимому базису канонической задачи линейного программирования, получаемому на той итерации;

В. формальная схема алгоритма модифицированного симплекс-метода состоит из двух этапов: 0-этап – нахождение допустимого базисного плана;

Г. 1-этап – стандартная итерация алгоритма выполняется для очередного базисного плана: проверка оптимальности текущего базисного плана и, в соответствии с алгоритмом, делается вывод о неограниченности целевой функции и завершается вычислительный процесс.

2.3. Понятие двойственной задачи в линейном программировании:

А. в заданной канонической задаче линейного программирования при решении целевой функции ставится вопрос о том, как можно получить верхнюю оценку для нее на множестве ;

Б. для максимизации целевой функции заданной задачи линейного программирования (в канонической постановке ), определение для этой функции минимального значения, сопряженной в смысле условий, называют двойственной;

В. при переходе от прямой задачи линейного программирования к двойственной ей выполняется симметричность отношения двойственности, т.е. двойственная задача совпадает с прямой (исходной) задачей;

Г. при переходе от прямой задачи линейного программирования к двойственной ей выполняется: 1) тип оптимума меняется на противоположный, т.е. максимум на минимум и наоборот; 2) меняются местами вектор коэффициентов целевой функции и столбец ограничений ; 3) транспонируется матрица ограничений задачи; 4) множество индексов переменных, на которые наложено условие неотрицательности в прямой задаче ( или ), определяет номера ограничений, имеющих форму неравенств в прямой и двойственной задачах ( или , или ).

2.4. Двойственный симплекс-метод. Критерий оптимальности:

А. двойственная задача-это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой, задачи;

Б. двойственная задача получается путем симметричного структурного преобразования условий прямой задачи в соответствии со следующими правилами: 1) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи; 2) каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи; 3) коэффициенты при некоторой переменной, фигурирующие в ограничениях прямой задачи, становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения двойственной задачи, а коэффициент, фигурирующий при той же переменной в выражении для целевой функции прямой задачи, становится постоянной правой части этого же ограничения двойственной задачи;

В. формируются остальные условия двойственной задачи: направление оптимизации, ограничения и знаки двойственных переменных;

Г. в стандартной формулировке прямой задачи все ограничения записываются в виде равенств (с неотрицательной правой частью), а все переменные неотрицательные. Поэтому существенным различием прямых задач, записанных в стандартной форме, является только направление оптимизации.

Фактически оптимальное решение одной из этих задач непосредственно (без каких-либо дополнительных ограничений для другой задачи оптимального решения) можно получить из данных симплекс-таблицы.

Из этого заключения следует, что процессы максимизации и минимизации сходятся в некоторой «точке равновесия», после достижения которой целевые функции задач улучшить невозможно. Такая точка достигается при равенстве значений целевых функций обеих задач и соответствует их оптимальным решениям.

2.5. Транспортная задача в матричной постановке и ее свойства:

А. транспортная задача может быть принципиально решена алгоритмом симплекс-метода;

Б. являясь универсальным методом решения любой задачи линейного программирования, симплекс-метод не учитывает специфики условий транспортной задачи и применение симплекс-метода к ее решению оказывается слишком громоздким;

В. решается проблема организации перевозки некоторого условного продукта между пунктами его производства, количество которых равно , и пунктами потребления. Каждый -й пункт производства ( ) характеризуется запасом продукта , а каждый -й пункт потребления ( )-потребностью в продукте . Сеть коммуникаций, соединяющая систему рассматриваемых пунктов, моделируется с помощью матрицы размерности на , элементы которой представляют собой нормы затрат на перевозку единицы груза из пункта производства в пункт потребления . План перевозки груза в данной транспортной сети представляется в виде массива элементов размерности :

План перевозок может рассматриваться как вектор, распадающийся на групп, по элементов в каждой, причем -тая группа соответствует объемам груза, вывозимым из -того пункта производства во все возможные пункты потребления. Если реальная перевозка между пунктами и отсутствует, то полагают .

Ограничения на возможные значения имеют вид:

1. ограничение на удовлетворение потребностей во всех пунктах потребления:

2. ограничения на возможности вывоза запасов из всех пунктов производства:

3. условия неотрицательности компонент вектора плана :

Существенной характеристикой описываемой модели является соотношение параметров и . Если суммарный объем производства равен суммарному объему потребления, а именно то система называется сбалансированной. При выполнении условия сбалансированности разумно накладывать такие ограничения на суммарный ввоз и вывоз груза, при которых полностью вывозится весь груз и не остается неудовлетворенных потребностей, т.е. поставленные условия приобретают форму равенств.

По аналогии с задачей производственного планирования суммарные затраты на перевозку примут вид:

Полученная функция и описанные выше ограничения, записанные в форме суммарных затрат на перевозки:

задают транспортную модель.

На ее основе может быть сформулирована задача минимизации суммарных затрат на перевозки которая получила название транспортной задачи в матричной постановке. Если привести условия транспортной задачи к канонической форме задачи линейного программирования, то матрица задачи будет иметь размерность Одно из уравнений в представленной выше системе является линейной комбинацией других. Таким образом, ранг матрицы транспортной задачи равен и ее невырожденный базисный план должен содержать ненулевых компонент;

Г. процесс решения транспортной задачи удобно оформлять в виде последовательности таблиц. Строки транспортной таблицы соответствуют пунктам производства , а столбцы - пунктам потребления . Клетки, которые содержат нулевые перевозки , называют свободными, а ненулевые - занятыми .

2.6. Критерий оптимальности для транспортной задачи в матричной постановке:

А. структура матрицы транспортной задачи;

Б. двойственная задача для транспортной модели, ее вид;

В. потенциалы пунктов производства и потребления;

Г. критерий оптимальности для плана транспортной задачи.

2.7. Метод потенциалов для решения транспортной задачи:

А. метод потенциалов основан на критерии оптимальности допустимого плана транспортной задачи;

Б. метод потенциалов представляет собой итеративный процесс, на каждом шаге которого рассматривается некоторый текущий базисный план, проверяется его оптимальность и, при необходимости, определяется переход к «лучшему» базисному плану;

В. алгоритм начинается с выбора некоторого допустимого базисного плана;

Г. задача может быть решена с помощью «северо-западного угла» либо с помощью «метода минимального элемента».

2.8. Графы, сети и потоки. Транспортная задача в сетевой постановке:

А. основой подобного рода моделей служат ориентированные или неориентированные графы;

Б. геометрическое представление орграфов и неорграфов;

В. для любой вершины сети разность выходящего и входящего потоков равна ее интенсивности;

Г. задача минимизации функции суммарной стоимости перемещения единицы продукта по дуге называется линейной сетевой задачей.

2.9. Метод потенциалов для решения транспортной задачи в сетевой постановке:

А. задача определения оптимального потока в некоторой сети при ограничениях. Сеть является сбалансированной;

Б. чтобы допустимый поток был оптимальным, необходимо и достаточно существование для каждой вершины потенциала;

В. логика обоснования данного критерия: построение двойственной задачи и применение соответствующей теоремы двойственности;

Г. в невырожденном потоке, которому отвечает допустимый базисный план задачи, дороги, по которым осуществляются перевозки груза, не достигающие по объему ограничения на пропускную способность, образуют остов (связанную подсеть без циклов) рассматриваемой транспортной сети.

2.10. Задача о кратчайшем пути в сети:

А. пусть задан граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие число, называемое длиной. Также пусть выделены две вершины графа, и требуется найти путь наименьшей длины, ведущий из одной вершины в другую, из выделенных;

Б. достаточно рассматривать задачу о кратчайшем пути для простого графа, в котором дуги определяются упорядоченными парами вершин;

В. тогда естественно задать путь, идущий из одной вершины в другую, задавать в виде упорядоченного набора вершин, через которые проходит данный путь;

Г. длина описанного выше произвольного пути определяется по формуле

и, в результате, получается кратчайший путь в сети.