Тема 5.4. Теория катастроф. Общая задача нечеткого математического программирования

Содержание вопросов

Введение. Локальный характер потенциальных функций. Замена переменных. Возмущения. «Принцип лома». Организация катастроф. Флаги катастроф. За пределами элементарной теории катастроф. Уравнения, приводящие к катастрофам. Математические теории катастроф.

Многокритериальные задачи линейного программирования - как задачи нечеткого математического программирования. Многокритериальное нелинейное программирование с нечеткими параметрами.

Вопросы и задания для самостоятельной работы:

1.Подготовить ответы на контрольные вопросы по теме 5.4:

1.1.Теория катастроф. Введение?

1.2. Локальный характер потенциальных функций?

1.3. Замена переменных?

1.4. Возмущения. «Принцип лома»?

1.5. Организация катастроф. Флаги катастроф?

1.6. За пределами элементарной теории катастроф?

1.7. Уравнения, приводящие к катастрофам?

1.8. Математические теории катастроф?

1.9. Многокритериальные задачи линейного программирования - как задачи нечеткого математического программирования?

1.10.Многокритериальное нелинейное программирование с нечеткими параметрами?

2. Тестовые задания для самостоятельного контроля уровня подготовки студентами вопросов темы 5.4.

2.1. Теория катастроф. Введение: первые сведения о теории катастроф появились в западной печати около 1970 г. В журнале типа «Ньюс уик» сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифференциального и интегрального исчисления. Утверждалось, что новая наука – теория катастроф – для человечества гораздо ценнее, чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Предметом теории катастроф является изучение зависимости качественной природы решений уравнений от значений параметров, присутствующих в заданных уравнениях. Появились сотни научных и околонаучных публикаций, в которых теория катастроф применяется к столь разнообразным объектам, как, например, исследования биения сердца, геометрическая и физическая оптика, эмбриология, лингвистика, экспериментальная психология, экономика, гидродинамика, геология и теория элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств, политики цензуры по отношению к эротической литературе.

А. источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова;

Б. теория особенностей – это грандиозное обобщение исследований функций на максимум и минимум. В теории Уитни функции заменены отображениями, т.е. наборами нескольких функций нескольких переменных;

В. слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят;

Г. катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять, что такое теория катастроф, нужно вначале познакомиться с элементами теории особенностей Уитни.

2.2. Локальный характер потенциальных функций:

А. глава посвящена исследованию локальных свойств потенциальных функций и семейства таких функций ; при этом первые можно рассматривать как отображения , а вторые - как отображения ;

Б. локальные свойства потенциальных функций и семейств потенциальных функций определяются рядом теорем функционального анализа, для понимания которых требуются определенные сведения из топологии;

В. Форма теоремы о неявной функции. Известно, что обобщенная сила, действующая на систему, поведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Поэтому если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то и сила, действующая в точке, также отлична от нуля: . В этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую систему координат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту. Для обеспечения математической строгости этих рассуждений, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна гладкая замена координат;

Г. Морсовские формы. Если рассматриваемая физическая система находится в состоянии равновесия, то . При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, Однако, если , теорема Морса гарантирует существование гладкой замены переменных, такой, что потенциальная функция локально может быть представлена квадратичной формой

Здесь - собственные значения матрицы устойчивости , вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с квадратичная форма может быть приведена к морсовской канонической форме

Функцию называют морсовским седлом. Морсовские седла имеют локальный минимум в точке равновесия, так что только такие седла локально устойчивы.

2.3. Замена переменных:

А. при описании физического процесса в пространстве удобно выделить некоторую произвольную систему координат . Если рассмотреть новую систему координат , то в любой точке , в которой якобиан отличен от нуля, исходная координатная система преобразуется в новую систему, т.е.

В такой точке пространства возможно и обратное преобразование Существование этого обратного преобразования следует из теоремы о неявной функции. Во многих ситуациях бывает полезно использовать разложение координат в ряд Тейлора:

Это преобразование обратимо в точке , если ;

Б. здесь рассматриваются свойства потенциальной функции только в точке (которую считают началом координат), то нет необходимости в переносе начала координат посредством неоднородного преобразования;

В. так как в результате действия отличных от нуля сил возникает движение, то любые две потенциальные функции, описывающие отличные от нуля илы в некоторой точке, должны быть качественно одинаковыми в этой точке;

Г. локальное поведение потенциальной функции определяется начальными членами разложения ее в ряд Тейлора. Две функции качественно подобны, если они связаны с помощью гладкой замены переменных. Такое преобразование координат можно использовать и для удаления последних членов разложения в ряд Тейлора. Управляющие параметры могут быть использованы для «аннигиляции» (уничтожение, превращение) начальных членов разложения функции в ряд Тейлора и тем самым для изменения ее свойств, а замена переменных-для сокращения ряда Тейлора. Отдельная функция, не зависящая от управляющих параметров, в общем случае будет иметь лишь некритические и изолированные критические точки и соответствующие канонические формы.

2.4. Возмущения. «Принцип лома»:

А. возмущения не влияют на свойства функции в некритической или в морсовской критической точке, но могут влиять на свойства функции в вырожденной критической точке. Список возмущений требуется для того, чтобы описать все изменения свойств, которые возмущение может вызвать в окрестности вырожденной критической точки.;

Б. полезно знать свойства функции или семейства функций в окрестности некоторой функции. Если семейство функций, имеющее некоторую некритическую точку, морсовскую критическую точку или вырожденную критическую точку в при то разность можно рассматривать как возмущение функции в окрестности точки ;

В. для того, чтобы выяснить, как возмущения влияют на свойства функции в окрестности точки , вполне достаточно изучить лишь возмущение канонической формы функции в окрестности точки . Канонические формы возмущений функций находятся точно так же, как канонические формы самих функций. Действие возмущающей функции вида на функцию наиболее просто изучить, используя разложения функции в ряд Тейлора в точке : ;

Г. в теории катастроф роль «меры нуль», используемой при «раскачивании» отдельных изолированных функций и семейств функций, назвали «принципом лома». Для отдельных изолированных функций большинство точек являются некритическими и, тем не менее, качественно глобальное поведение рассматриваемой функции полностью определяется изолированными критическими точками. Для семейства функций большинство точек параметризует морсовские функции, и все-таки глобальное качественное поведение семейства функций полностью определяется множеством меры нуль в пространстве , точки которого параметризуют функции с вырожденными точками. Подобное множество меры нуль, или сепаратриса, называется множеством бифуркации (или бифуркационным множеством) и обозначается .

2.5. Организация катастроф. Флаги катастроф:

А. описываются вычислительные методы, позволяющие найти уравнения одномерных кривых ростков катастроф, имеющих размерность . Рассматривается метод определения структуры сепаратрис в пространстве управляющих параметров, который может быть использован при нахождении компонент сепаратрис размерности больше 1. Метод позволяет определить как полный спектр (набор) компонент сепаратрисы, так и размерность каждой из них. Он дает возможность легко установить тип структурно устойчивых морсовских функций, которые могут быть встречены в возмущениях любого ростка катастрофы и выяснить, имеют ли открытые множества, представляющие эти функции, общие компоненты сепаратристы;

Б. из начала координат пространства управляющих параметров ростка катастрофы исходят две линии, параметризующие ростки катастроф . Наиболее легкий путь определения уравнений этих линий в пространстве управляющих параметров – это анализ размерностей и, в частности, использование пересчетных соображений;

В. если является функцией катастрофы, то уравнение , определяют сепаратрису в пространстве управляющих параметров. Точки, расположенные на этой сепаратрисе, представляют структурно неустойчивые функции с одной или более неморсовскими критическими точками. Сепаратриса состоит из компонент размерности , лежащих в пространстве , и разбивает пространство на конечное число открытых областей, представляющих структурно устойчивые функции. Если есть элементарная катастрофа, то объединение этих открытых множеств всюду плотно в пространстве . Уравнения одномерных компонент сепаратрисы и любой из ее компонент можно определить, используя пересчетные соображения. Однако так как это утомительный процесс, то предлагается более простой и наглядный диаграммный метод или контурное представление;

Г. катастрофы имеют характерные «отпечатки пальцев» и часто вывешивают «опознавательные знаки» - флаги, чтобы привлечь наше внимание. Описаны восемь стандартных флагов катастроф. Первые пять флагов встречаются вместе и «вывешиваются», когда физические управляющие параметры могут изменяться внутри некоторой области пространства управляющих параметров, в которой соответствующая потенциальная функция имеет более чем один минимум (за исключением гистерезиса). Остальные три флага могут встречаться даже тогда, когда потенциальная функция не имеет кратных минимумов, что чрезвычайно важно при изучении систем для которых неожиданные переходы (скачки) в другие состояния крайне не желательны. Как только один из этих флагов зафиксирован, т.е. установлен признак, свидетельствующий о наличии катастрофы, управляющие параметры можно изменять так, чтобы стало возможным обнаружить остальные флаги, которые обязательно должны проявить себя при соответствующих условиях. Уже сам факт обнаружения катастрофы имеет огромное значение для рассматриваемой физической системы. Установление наличия и типа катастрофы в рассмотренных выше случаях возрастающей неопределенности в описании системы могут помочь определить:

- упрощенную модельную потенциальную функцию, зависящую только от существенных переменных состояния и управляющих параметров;

- определить соответствующий росток потенциальной функции, который может «подсказать», какой в действительности физический процесс имеет место;

- установить соответствующий тип уравнений (динамический, диффузионный и т.д.) для системы и то, каким образом потенциальная функция может входить в такие уравнения;

- определить ненужность использования уравнений вообще, если выводы, следующие из таких уравнений, зависят главным образом от канонической геометрии соответствующей катастрофы.

2.6. За пределами элементарной теории катастроф:

А. элементарная теория катастроф изучает вырожденность в семействах отображений неограниченной области из в : , где . Чтобы раздвинуть границы элементарной теории катастроф, следует ослабить эти ограничения. Все канонические ростки катастроф при перечислены в представленной ниже таблице. Они соответствуют лишь одному ( ) или двум ( ) нулевым собственным значениям матрицы устойчивости. Таблица

Тип катастрофы		Росток	Возмущение
	1 2 3 4 5 3 3 4 5 5 5

Б. при определенных ограничениях на отображение (конечность ядра) задача классификации неморсовских критических точек сводится к конечномерной задаче (размерности ядра ), и в этом случае применимы обычные методы теории катастроф;

В. сняв ограничение , мы исследовали отображения . Хотя для некоторых особенностей таких отображений известны канонические формы, здесь все еще остается нерешенной серьезная проблема, связанная с тем, что устойчивые отображения не всегда образуют плотное множество в пространстве всех отображений указанного вида. Поэтому вполне вероятно, что в таких случаях окажется необходимым создание некоторого нового математического аппарата;

Г. очень важной с практической точки зрения задачей является определение типа качественных изменений, которые могут происходить в семействах функций, инвариантных относительно некоторой группы симметрий . Эта задача может быть решена известными методами анализа элементарных катастроф. Методы элементарной теории катастроф оказались применимыми и в случае катастроф с ограничениями. Показано, что сепаратрисы в семействах функций появляются в тот момент, когда точка , в которой , оказывается на границе области определения функции .

2.7. Уравнения, приводящие к катастрофам:

А. приведено более глубокое изучение автономных динамических систем с целью выявления набора «неприводимых потоков», которые могут возникнуть в мерной динамической системе. Если все такие потоки установлены, то, помещая их в разные области пространства фазовых координат, можно моделировать поведение мерной динамической системы. Такой прием аналогичен размещению морсовских седел в разных точках в пространстве для описания произвольной мерной морсовской функции;

Б. приведены методы описания и построения динамических потоков и инвариантных поверхностей и анализируется построение двумерных потоков и предельных циклов из одномерных потоков, а так же двумерных потоков – предельных циклов и трехмерных потоков и инвариантных поверхностей из двумерных структур. Простые комбинации некоторых из строительных блоков подобного типа позволяют составить описание поведения странных динамических систем. Поток, впервые подробно изученный Лоренцем, может быть применен для анализа нелинейных систем в гидродинамике и электродинамике;

В. введена теорема о центральном многообразии, представляющая собой аналог леммы Тома о расщеплении для динамической системы. В теории динамических систем она позволяет ввести существенные упрощения; благодаря этой теореме перечисление неприводимых потоков превращается в полезное упражнение;

Г. анализируется картина Рюэля - Тейкенса возникновения турбулентности в нелинейных системах общего типа. Эта картина основана на теореме о центральном многообразии, наборе инвариантных потоков, бифуркации Хопфа, а также на идеях, связанных с наличием или потерей динамической и структурной устойчивости.

2.8. Математические теории катастроф:

А. формулировка теоремы Тома невозможна без использования таких понятий, как возмущение, наследственность, устойчивость и особенности функций. Теорема Тома по своей природе является «качественной» теоремой. Теорема Тома имеет дело с многообразиями и с особенностями отображений из одного многообразия (критического многообразия) в другое (пространство управляющих параметров).

Б. чтобы формализовать понятия «возмущение» или понятия «близость» одной функции другой, необходимо сначала найти способ наглядного представления «расстояния» между двумя функциями, или, что эквивалентно, расстояния между любой и нулевой функциями. Существует один очевидный способ ввести топологию в множество функций, определенных на , - это так называемая топология рядов Тейлора;

В. построим ряд Тейлора функции в точке :

Поскольку все производные берутся в точке , функция представляется точкой в некотором евклидовом пространстве. Усеченный до членов й степени ряд Тейлора функции в точке называется струей функции в точке и обозначается символом или просто . Для любой

гладкой функции ;

Г. топологии в пространстве общеизвестны, и с ними легко работать. Если , -две функции, то расстояние между ними может быть определено следующим образом:

Если конечно, то расстояние можно определить с помощью формулы:

Таким образом, окрестность функции содержит все функции , отстоящие от на расстоянии меньшем .

2.9. Многокритериальные задачи линейного программирования - как задачи нечеткого математического программирования:

А. ЛП-задачи с нечеткими целевыми функциями: максимизировать при ограничениях где -вещественные векторы; вещественная матрица; вектор коэффициентов целевой функции.

Б. предположим, что лицо принимающее решение (ЛПР) может только указать интервалы и что только 1 элемент из пространства является истинным вектором коэффициентов целевой функции;

В. когда ЛП-задача имеет единственную целевую функцию, а мы сталкиваемся с проблемой, которая содержит бесконечно много целевых функций вида при ограничениях которые должны быть минимизированы одновременно для ;

Г. все векторы из ограниченного интервала

должны рассматриваться как параметры.

По аналогии с теорией ЛП с несколькими целевыми функциями полное решение задачи ЛП с интервальными коэффициентами вида:

найти , определяется как

для всех и , по крайней мере, для одного вектора .

2.10. Многокритериальное нелинейное программирование с нечеткими параметрами:

А. для случая задач многокритериального нелинейного программирования с нечеткими параметрами (МКНП) предлагается к их решению подход с использованием понятия Парето-оптимальности уровня. В общем случае задача МКНП представляется как задача векторной оптимизации: найти

при условиях где - мерный вектор переменных решения; - различных целевых функций;

множество допустимых решений;

Б. фундаментальным понятием для задач многокритериальной оптимизации является понятие Парето-оптимальности, которое известно также, как неулучшаемое решение;

В. качественно Парето-оптимальное решение МКНП – это такое решение, в котором любое улучшение одной целевой функции может быть достигнуто только за счет других целевых функций;

Г. решение называется Парето-оптимальным решением МКНП тогда и только тогда, когда не существует другого вектора такого, что для , причем хотя бы для одного это ограничение выполняется строго. Во многих случаях на практике можно полагать, что в значениях параметров, входящих в целевую функцию, имеются неоднозначности, которые отражают понимание экспертами реальной среды.

Для этого случая целесообразно рассмотреть МКНП-задачи с нечеткими параметрами в описании целевых функций и ограничений:

найти при условиях

где означают соответственно вектор нечетких параметров, включенных в целевую функцию и ограничения

. Эти нечеткие параметры предполагаются нечеткими числами, которые были введены Дюбуа и Прадом.