Спрощення логічних формул.
Рівносильні перетворення логічних формул мають те ж призначення, що і перетворення формул в звичайній алгебрі. Вони служать для спрощення формул або приведення їх до певного вигляду шляхом використання основних законів алгебри логіки.
Під спрощенням формули, що не містить операцій імплікації і еквіваленциі, розуміють рівносильне перетворення, що приводить до формули, яка або містить в порівнянні з початковою менше число операцій кон'юнкції і диз'юнкції і не містить заперечень неелементарних формул, або містить менше число входжень змінних
Деякі перетворення логічних формул схожі на перетворення формул в звичайній алгебрі (винесення загального множника за дужки, використання сполучного закону і т. п.), тоді як інші перетворення засновані на властивостях, якими не володіють операції звичайної алгебри (використання розподільного закону для кон'юнкції, законів поглинання, склеювання, де Моргана і ін.).
Покажемо на прикладах деякі прийоми і способи, вживані при спрощенні логічних формул:
1)
(закони
алгебри логіки застосовуються в наступній
послідовності: правило де Моргана,
сполучний закон, правило операцій
змінної з її інверсією і правило операцій
з константами);
2)
(застосовується
правило де
Моргана, виноситься за дужки загальний
множник, використовується правило
операцій змінної з її інверсією);
3)
(повторюється
другий
співмножник,
що дозволене законом ідемпотенціі;
потім комбінуються два перших і два
останні співмножники і використовується
закон склеювання);
4)
(вводиться
допоміжний логічний співмножник
(
);
потім комбінуються два крайніх і два
середніх логічних доданків і
використовується закон поглинання);
5)
(спочатку
добиваємося, щоб знак заперечення стояв
тільки перед окремими змінними, а не
перед їх комбінаціями, для цього двічі
застосовуємо правило де Моргана; потім
використовуємо закон подвійного
заперечення);
6)
(виносяться
за дужки загальні множники; застосовується
правило операцій з константами);
7)
(до
заперечень неелементарних формул
застосовується правило де
Моргана; використовуються закони
подвійного заперечення і склеювання);
8)
(загальний
множник x виноситься за дужки, комбінуються
доданки в дужках — перше з третім і
друге з четвертим, до диз'юнкції
застосовується правило операції змінної
з її інверсією);
9)
(використовуються
розподільний закон для диз'юнкції,
правило операції змінної з її інверсією,
правило операцій з константами,
переместітельний закон і розподільний
закон для кон'юнкції);
10)
(використовуються
правило де
Моргана, закон подвійного заперечення
і закон поглинання).
Різноманітність логічних завдань дуже велика. Способів їх рішення теж немало. Але найбільшого поширення набули наступні три способи вирішення логічних завдань:
засобами алгебри логіки;
табличний;
за допомогою міркувань.
Вирішення логічних завдань засобами алгебри логіки
Використовується наступна схема рішення:
1. вивчається умова завдання;
2. вводиться система позначень для логічних висловів;
3. конструюється логічна формула, що описує логічні зв'язки між всіма висловами умови завдання;
4. визначаються значення істинності цієї логічної формули;
5. з набутих значень істинності формули визначаються значення істинності введених логічних висловів, на підставі яких робиться висновок про рішення.
Приклад 3.
1. Троє друзів, уболівальників автогонок "Формула-1", сперечалися про результати майбутнього етапу гонок.
- Ось побачиш, Шумахер не прийде першим, - сказав Джон. Першим буде Хилл.
- Та ні ж, переможцем буде, як завжди, Шумахер, - вигукнув Нік. - А про Алезі і говорити нічого, йому не бути першим.
Пітер, до якого звернувся Нік, обурився:
- Хиллу не мабуть першого місця, а ось Алезі пілотує найпотужнішу машину.
Після закінчення етапу гонок виявилось, що кожне з двох припущень двох друзів підтвердилося, а обидва припущення третього з друзів опинилися невірні. Хто виграв етап гонки?
Рішення. Введемо позначення для логічних висловів:
Ш - переможе Шумахер; Х - переможе Хилл; А - переможе Алезі.
Репліка Ніка "Алезі пілотує найпотужнішу машину" не містить ніякого твердження про місце, яке займе цей гонщик, тому в подальших міркуваннях не враховується.
Зафіксуємо вислови кожного з друзів:
Враховуючи те, що припущення двох друзів підтвердилися, а припущення третього невірні, запишемо і спростимо дійсний вислів
Вислів істинний
тільки при Ш=1, А=0, Х=0.
Відповідь. Переможцем етапу гонок став Шумахер.
Вирішення логічних завдань за допомогою міркувань
Даним способом зазвичай вирішують нескладні логічні завдання.
Приклад 4.
Вадим, Сергій і Михайло вивчають різні предмети: педіатрію, фізіологію і біохімію. На питання, яка мова вивчає кожен з них, один відповів: "Вадим вивчає педіатрію, Сергій не вивчає педіатрію, а Михайло не вивчає біохімію". Згодом з'ясувалося, що в цій відповіді тільки одне твердження вірне, а два інших помилкові. Яка мова вивчає кожен з людей?
Рішення. Є три твердження:
1. Вадим вивчає педіатрію;
2. Сергій не вивчає педіатрію;
3. Михайло не вивчає біохімію.
Якщо вірне перше твердження, то вірно і друге, оскільки хлопця вивчають різні предмети. Це протирічить умові завдання, тому перше твердження помилкове.
Якщо вірне друге твердження, то перше і третє мають бути помилкові. При цьому виходить, що ніхто не вивчає педіатрію. Це протирічить умові, тому друге твердження теж помилково.
Залишається вважати за вірне третє твердження, а перше і друге - помилковими. Отже, Вадим не вивчає педіатрію, педіатрію вивчає Сергій.
Відповідь: Сергей вивчає педіатрію, Михайло — фізіологію, Вадим — біохімію.
Приклад 5.
Формалізувати вислів:
F=«Хлеба уціліють тоді і тільки тоді, коли будуть вириті іригаційні канави; якщо хліби не уціліють, то фермери збанкрутять і залишать ферми.»
Рішення
Хай
А=«хліб уціліє»
B=«будут вириті іригаційні канави»
С=«фермери збанкрутять»
D=«фермеры залишать фермы».
Т
огда
Доказать законы алгебры высказываний можно:
построив таблицу истинности для правой и левой частей закона;
выполнив эквивалентные преобразования над правой и левой частями формулы для приведения их к одному виду;
с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Диаграммы Эйлера-Вена