Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі  = 1,2 м. Для точок середовища, які знаходяться на відстані х = 2 м, визначити: а) зміщення u_x,t в момент часу t = 7 мс; б) швидкість і прискорення для того ж моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.

Дано:

Т = 3 мс

А = 0,2 мм

 = 1,2 м

х = 2 м

t = 7 мс

------------------------------

u_x,t -? _x,t - ? _x,t - ?

Розв’язування: Рівняння плоскої хвилі має вигляд:

U_x,t = A cos (t - kx), (1)

де  = 2/Т - циклічна частота коливань;

k = 2/ - хвильове число.

Знайдемо швидкість і прискорення поширення хвиль у пружному середовищі, як відповідні похідні за часом від (1):

; (2)

. (3)

а) Зміщення точок середовища на відстані х = 2 м і в момент часу t = 7 мс, дорівнює

б) Швидкість цих точок

=

= -0.2  10^-3.2093 sin =- 0,031 м/с.

в) Прискорення руху точок середовища

=

=-0,2^.10^-3.2093² соs = -873,3 м/с².

Відповідь: u_x,t = 0,12 мм; =- 0,031 м/с; = - 873.3 м/с² .

Приклад 2. Рівняння плоскої біжучої хвилі має вигляд

u_x,t = 6,0 10^-2 cos (1800t – 5,3x) мм. (1)

Знайти: а) відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі; б) амплітуду швидкості частинок середовища і її відношення до швидкості поширення хвиль; в) амплітуду відносної деформації середовища і її зв’язок з амплітудою швидкості частинок.

Розв’язування: Рівняння плоскої біжучої хвилі в загальному вигляді запишемо так:

u_x,t = A cos . (2)

а) Порівнюючи співвідношення (1) і (2), знайдемо відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі. Крім того амплітуда, період коливань і довжина хвилі дорівнюють:

А = 6,0  10^-5 м; 2/Т = 1800 с^-1,

звідки

Т = 2/1800 = 3,49  10^-3 с;

Оскільки 2/ = 5,3 то  = 2/5,3 = 1,18 м,

Тому = 5,08  10^-5.

б) Швидкість частинок середовища знайдемо, взявши похідну за часом від рівняння (1)

= - 6.0  10^-5  1800 sin (1800t - 5.3x) м/с

де ( )_max = 6.0  10^-5  1800 = 0.11 м/с - амплітуда швидкості частинок.

Швидкість поширення хвиль у пружному середовищі

υ = = 339 м/с.

Відношення амплітуди швидкості частинок середовища до швидкості поширення хвиль

= 3.19  10^-4.

в) Для знаходження зв’язку амплітуди відносної деформації частинок і амплітуди швидкості частинок знайдемо відповідні похідні від рівності (2):

; (3)

; (4)

Поділимо рівняння (4) на (3)

= υ,

або

,

де - амплітуда швидкості;

- амплітуда відносної деформації;

υ - швидкість поширення хвиль.

Відповідь: А/ = 5,08  10^-5 ; = 0,11 м/с;

= 3,19  10^-4,

Приклад 3. Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше ₀ = 1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.

Дано:

l = 0,85 м

υ = 340 м/с

₀ = 1250 Гц

-----------------------------

₁ - ? ₂ - ? ....

Розв’язування: В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.7.

а) У випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число /4, тобто

l = (2k +1) /4,

де k = 0, 1, 2, ...;

 - довжина хвилі, яка пов’язана з частотою коливань  = υ/.

Тому l = (2k + 1) , звідки  = .

Знайдемо ці частоти

k = 0; ₁ = = 100 Гц

k = 1; ₂ = = 300 Гц

k = 2; ₃ = = 500 Гц

k = 3; ₄ = = 700 Гц

k = 4; ₅ = = 900 Гц

k = 5; ₆ = = 1100 Гц

Наступна частота буде більша за ₆.

б) У випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, слід, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто

l = k , де k = 1, 2, 3, ....

З урахуванням того, що  = , маємо

l = k , звідки  = .

Знайдемо ці частоти

k = 1; ₁ = = 200 Гц. k = 2 ; ₂ = = 400 Гц.

k = 3; ₃ = = 600 Гц. k = 4 ; ₄ = = 800 Гц.

k = 5; ₅ = = 1000 Гц. k = 6 ; ₆ = = 1200 Гц.

Приклад 4. На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u₁ = 30 м/c і u₂ = 20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою ₁ = 600 Гц. Визначити частоту, яка буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: 1) до зустрічі; 2) після зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.

Дано:

u₁ = 30 м/с

u₂ = 20 м/с

₀ = 600 Гц

c = 340 м/с

-----------------

- ? - ?

Розв’язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках визначається за допомогою формули ефекту Допплера

.

а) До зустрічі

 600 = 696 (Гц).

б) Після зустрічі

 600 = 519 (Гц).

Відповідь: = 696 Гц; = 519 Гц.

Приклад 5. Визначити потужність точкового ізотропного джерела звуку, якщо на відстані r = 25 м від нього інтенсивність звуку R дорівнює 20 мВт/м². Яка середня густина енергії на цій відстані ?

Дано:

r = 25 м

R = 20 мВт/м²

--------------------

N - ? - ?

Розв’язування. Відомо, що інтенсивність, або густина потоку енергії визначається за формулою

R = ,

де W - повна енергія, яка випромінюється точковим джерелом звуку у всіх напрямках;

S - площа поверхні, через яку здійснюється перенос енергії;

t - час випромінювання.

Тоді потужність точкового джерела випромінювання буде дорівнювати

N = або N = R S.

Підставимо числові значення

N = 20  10^-3  4  3,14  625 = 157 Вт.

Середня об’ємна густина енергії на цій відстані визначається з формули

R = υ звідки =

де υ - швидкість звуку в повітрі, яка для н.у. дорівнює 340 м/с.

Тому

5,88  10^-5 Дж/м³.

Відповідь: 157 Вт; 5,85  10^-5 Дж/м³.