С.Г. Авдєєв, Т.І. Бабюк,

О.С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С.Г. Авдєєв, Т.І. Бабюк,

О.С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Вінниця ВНТУ 2009

Частина 2

Розділ 1. Гармонічні коливання і хвилі

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

х = А cos ( t + ₀),

υ = - A  sin (t + ₀),

a = - A ²cos (t + ₀) = - ² x,

де А - амплітуда коливань;

 - циклічна частота;

₀ - початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти  з періодом коливань Т і частотою :

 = = 2  .

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіупружна сила):

F = ma = - m ² x = - k x,

де k = m² - коефіцієнт квазіупружної сили, який вимірюється силою, що визиває зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

,

.

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

+ x = 0, де , звідки T = 2 ;

б) пружинний маятник

+ x = 0, де , звідки Т = 2 ;

в) фізичний маятник

+ x = 0, де , звідки T = 2 ,

де І - момент інерції маятника відносно осі коливань;

l - відстань від осі коливань до центра мас маятника;

- приведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань  називається власною циклічною частотою і позначається через ₀.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза ₀ визначаються рівняннями:

,

tq ₀ = ,

де А₁ і А₂ - амплітуди коливань, що складаються;

₁ і ₂ - початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (₁  ₂) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

x = cos ,

де - амплітуда биття.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

T_б =  , звідки T_б = .

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

cos(₂ - ₁) = sin² (_{2 -} ₁),

де А₁ і А₂ - амплітуди коливань, що додаються;

_{2 -} ₁ - різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння загасаючих коливань :

0, або

де  = - коефіцієнт загасання;

r - коефіцієнт опору середовища;

- власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для загасаючих коливань має вигляд:

x = A₀e^-t cos (t + ),

де А₀е^-t - амплітуда загасаючих коливань;

 - циклічна частота загасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди загасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом загасання

δ= ln ,

де δ - логарифмічний декремент загасання;

 - коефіцієнт загасання;

Т - період загасаючих коливань.

12. Циклічна частота загасаючих коливань

 = , або  = .

13. Період загасаючих коливань:

T = , або Т = .

14. Добротність коливальних систем

 = 2 , або  = ,

де W_t - повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

W_(t=T) - втрати енергії коливальної системи за один період; δ - логарифмічний декремент загасання;

 - коефіцієнт загасання;

₀ - власна циклічна частота коливань;

Т - період загасаючих коливань (при малих загасаннях Т  Т₀).

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

,

або

де F₀ - вимушувана сила;

 - циклічна частота вимушених коливань.

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушуваної сили має вигляд:

x = A cos (t + )

де А - амплітуда вимушених коливань;

 - зсув за фазою вимушених коливань і вимушуваної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань

A = ,

де f₀ = ;

₀ - власна частота коливань системи;

 - циклічна частота вимушуваної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

tg = - .

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

_рез = ;

А_рез = .

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань  = 4 c^-1. В момент часу t = 0 координати частинки х₀ = 25,0 см, а її швидкість v= 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано:

 = 4 с^-1

х₀ = 25,0 см

υ= 100,0 см/с

t = 2,40 с

------------------------------

х = ? υ= ?

Розв’язування: Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = Acos ( t + ). (1)

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

υ = - A sin ( t + ) . (2)

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х₀ і υ₀:

x₀ = A cos  i υ₀ = - A sin  (3)

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

= 1 , звідки А = ;

cos  = , звідки  = arc cos .

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35,5 cм

 = arc cos .

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість υ в момент часу t:

x = 35,5 cos (4  2,40 + /4) = - 20,2 (см)

υ= - 35,5  4sin (4  2,40 + /4) = 115,7 (см/с)

Відповідь: х = - 20,2 см; υ= 115,7 см/с.

Приклад 2. В результаті додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку і близьких частот одержали результуюче рівняння:

x = A cos 2,1 t cos 50,0 t (см)

Визначити циклічні частоти коливань, які додаються, і період биття.

Розв’язування: Відомо, що при додаванні двох гармонічних коливань з близькими частотами ₁ і ₂ рівняння результуючого руху має вигляд:

х = .

Порівнюючи це рівняння і рівняння умови задачі, маємо

= 2,1 c^-1 i = 50,0 c^-1

Звідки ₁ = 47,9 c^-1; ₂ = 52,1 c^-1.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса:

T_б =  ,

де Т_б - період биття.

Знаходимо період биття

T_б = = 1,49 (с)

Відповідь: ₁ = 47,9 с^-1; ₂ = 52,1 с^-1; Т_б = 1,49 с.

Приклад 3. Рівняння руху частинки мають вигляд:

х = Аsin t; (1) y = В cos t, (2)

де А і В - амплітуди коливань частинки вздовж координатних осей х і y. Знайти:

а) рівняння траєкторії частинки у(х) і напрям її руху вздовж цієї траєкторії;

б) прискорення а в залежності від напряму радіуса вектора .

Розв’язування: Рівняння траєкторії частинки одержимо, якщо рівняння (1) і (2) записати в такому вигляді:

sin t = , cos t = .

Піднесемо до квадрату:

= sin²t; = cos² t;

Додавши ці рівняння одержимо:

+ = 1 - еліпс

Будуємо цю траєкторію в декартовій системі координат (рис.1):

Рис. 1

Аналізуючи рівняння (1) і (2) в різні моменти часу, знаходимо, напрям руху частинки вздовж траєкторії

а) при t = 0, х = 0 і у = В - початок руху ;

б) при t = /4, х = А і у = 0 - наступна точка;

в) при t = T/2, х = 0 і у = -В і т.п.

Результуюче прискорення руху частинки визначаємо із відповідних прискорень руху вздовж осей х і у

υ_х = А сos t; а_х= - А ² sin t = - ² x;

υ_y = - В  sin t; a_y= - В² cos t = - ² y;

.

Модуль вектора дорівнює

a = ² = ² r ,

де - модуль радіуса-вектора частинки в довільний момент часу.

Радіус-вектор частинки завжди направлений від початку координат до положення точки на траєкторії. Вектор результуючого прискорення завжди направлений від положення частинки на траєкторії руху до початку координат, тобто

.

ПРИКЛАД 4. Однорідний стержень поклали на два блоки, які швидко обертаються, як це показано на рис.2. Відстань між осями блоків l = 20 см, коефіцієнт тертя ковзання між стержнем і блоками k = 0,18. Показати, що стержень буде здійснювати гармонічні коливання. Знайти період цих коливань.

Дано: l = 20 см k = 0,18 ----------------- Т - ?

Рис.2

Розв’язування: При зміщенні стержня вліво на величину х від положення рівноваги сили тертя F₁ i F₂, які виникають між стержнем і блоками дорівнюють

F₁ = F₂ =

де  - густина матеріалу стержня;

S - переріз стержня;

k - коефіцієнт тертя ковзання.

Повертаюча сила, яка виникне в цьому випадку, буде дорівнювати:

F = - (F₁ -F₂) = - 2  g S k x (1)

За другим законом Ньютона ця ж сила дорівнює:

F = m a (2)

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і (2), маємо

ma + 2  g S k x = 0,

aбо

x = 0 . (3)

Одержане диференціальне рівняння (3) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань визначається співвідношенням:

² = ,

звідки

T = 2 ,

або врахувавши, що m = lS, одержимо:

T = 2 .

Підставимо числові значення:

T = 6,28  = 1,5 (c) .

Відповідь: Т = 1,5 с.

Приклад 5. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня довжиною 120 см коливається біля горизонтальної oсі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через точку, віддалену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якому значенні а_е період коливань буде мати найменше значення? Знайти величину цього періоду ?

Дано:

l = 120 см

-----------------

а_e - ?

Т_min - ?

Розв’язування: Відведений від положення рівноваги стрижень буде здійснювати коливання відносно закріпленої осі, яка співпадає з віссю Z (рис.3). Покажемо, що при малих кутах відхилення ( < 7), ці коливання будуть гармонічними. В будь-який момент часу на стрижень діють дві сили, сила тяжіння і сила реакції опори. Однак, обертаючий момент створюється лише силою тяжіння.

M =- mga sin , (1)

де а - відстань від осі обертання до центра мас стрижня;

 - кут відхилення стрижня від положення рівноваги.

Для малих кутів sin =  , а напрям вектора протилежний до напрямку осі Z, тому

M_z = - mga , (2)

Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху цей момент дорівнює:

M_z = І (3)

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3), одержимо:

I + mga  = 0

Звідки:

 = 0. (4)

Рівняння (4) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань, квадрат циклічної частоти яких дорівнює:

² = (5)

де І - момент інерції стрижня відносно осі обертання;

а - відстань від точки підвісу до центра мас.

Момент інерції стрижня знайдемо за теоремою Штейнера, згідно з якою:

I = I₀ + m a²,

де І₀ = ml² - момент інерції стрижня відносно осі, яка проходить через центр мас стрижня. Тому

І = m l² + ma² . (6)

Підставимо (6) в (5) і визначимо період коливань

T = 2 . (7)

Для визначення екстремальної відстані а_е від центра мас до точки підвісу, похідну по а підкореневого виразу формули (7) прирівняємо до нуля:

= 0 , .

Звідки

2 a² - - a² = 0;

a_e =  . (8)

a_e =  0,34 (м).

Величину а_е з (8) підставимо в (7) і знайдемо значення найменшого періоду коливань фізичного маятника:

T_min = 2 = 1,67 (c).

Відповідь: а_е = 34 см; Т_min = 1,67 c.

Приклад 6. Кулька масою m і радіусом r котиться без ковзання по внутрішній поверхні циліндра радіусом R, виконуючи малі коливання біля положення рівноваги. Визначити період коливань кульки.

Розв’язування: На відведену від положення рівноваги кульку діють дві сили, сила тяжіння mg і сила реакції опори з точкою прикладання о₁. Обертаючий момент відносно миттєвої точки о₁ створюється лише силою тяжіння (рис.4.):

М = - mgr sin  (1)

де mg - сила тяжіння;

r - радіус кульки;

 - кут відхилення радіуса - вектора кульки від положення рівноваги.

У випадку, коли кут  < 7, sin  = . В цьому випадку

M = - mgr (2)

За основним рівнянням динаміки обертального руху момент сили тяжіння дорівнює

М = І , (3)

де І - момент інерції кульки відносно миттєвої вісі, яка проходить через точку о₁ ;

 - кутове прискорення кульки відносно точки о₁.

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

I  + mgr  = 0 (4)

Момент інерції кульки відносно миттєвої осі знаходимо за теоремою Штейнера:

I = mr² + mr² = mr² (5)

Кутове прискорення кульки  можна визначити через дотичне прискорення а_ і радіус кульки r:

a_ =  r . (6)

Дотичне прискорення а_ також можна визначити по відношенню до точки о циліндра:

a_ =  (R - r) , (7)

де  - кутове прискорення кульки відносно точки о, яке пов’язане із зміною кута повороту  за часом ( =  );

(R - r) - відстань від точки о до центра мас кульки.

Прирівняємо праві частини рівностей (6) і (7) і визначимо :

 = . (8)

Значення І з (5) і  з (8) підставимо в (4), одержимо:

+ mgr  = 0.

Звідки

= 0. (9)

Диференціальне рівняння (9) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань дорівнює

 = .

Отже період коливань кульки:

T = 2 .

Приклад 7. Тіло масою 1 кг знаходиться у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. З допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожна тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому не деформовані. Тіло змістили від положення рівноваги, як це показано на рис.5, і відпустили. Визначити: 1) коефіцієнт загасання ; 2) частоту  коливань; 3) логарифмічний декремент коливань δ; 4) число N коливань за час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться в е разів; 5) добротність коливної системи.

Д

ано:

m = 1 кг

r = 0,05 кг/с

k = 50 Н/м

--------------------------

 - ?  - ? δ - ?

N - ?  - ?

Рис .5

Аналіз задачі. На відведене від положення рівноваги тіло (рис.5) діють дві однакові сили F₁ = F₂ = kx, які направлені в один бік. Повертаюча сила в цьому випадку дорівнює:

F_n = - 2kx. (1)

При русі тіла у в’язкому середовищі з боку останнього виникає сила опору, яка пропорційна швидкості руху тіла:

F₀ = - r . (2)

Інших сил в напрямі руху тіла при здійсненні коливань не існує. За другим законом Ньютона результуюча цих двох сил призводить до виникнення прискорення, тобто можна записати:

m = - r . (3)

Рівняння (3) можна перетворити:

= 0, (4)

де = 2,  - коефіцієнт загасання;

= ₀², ₀ - власна циклічна частота.

З урахуванням позначень рівняння (4) набуде вигляду:

= 0. (5)

Рівняння (5) є диференціальним рівнянням загасаючих коливань, розв’язком якого є функція:

x = A₀ e^-t cos (t + ) (6)

Розв’язування: а) Коефіцієнт загасання дорівнює

 = = 0,025 c^-1.

б) Частоту коливань  знайдемо за формулою:

 = = 1,59 c^-1.

в) Логарифмічний декремент загасання дорівнює

δ = ln = 0,0157.

г) Число коливань, які будуть виконані коливною системою за час , протягом якого амплітуда зменшиться в е разів:

N = ,

де  - час, за який амплітуда зменшується в e paзів;

Т - період загасаючих коливань.

Спочатку знайдемо час 

1 = ln =  

Звідки

 = .

Тоді

N =

д) Добротність коливної системи

= 200.

Відповідь:  = 1,59 с^-1; δ= 0,0157; N = 64;  = 200.

Приклад 8. Частинку змістили від положення рівноваги на відстань А₀ = 1 см і відпустили. Який шлях пройде ця частинка, здійснюючи загасаючі коливання, до повної зупинки, якщо логарифмічний декремент загасання δ = 0.01 ?

Розв’язування: Зміщена від положення рівноваги частинка за перші чверть періоду, після того, як її відпустили, пройде шлях S₁ = A_0. За кожну наступну половину періоду частинка буде проходити відповідно шляхи

S₂ =2A₀ ; S₃ = 2A₀ ; S₄ = 2 A₀  i т.п.

Весь шлях руху частинки буде дорівнювати

S = S₁ + S₂ + S₃ +....+ S_n.

Або

S = А₀ + 2А₀ + 2А₀ + 2А₀ +...+ 2А₀ .

Після спрощення одержимо

S = A₀  .

В круглих дужках безмежно спадна геометрична прогресія, сума членів якої визначається формулою

S_n = ,

де а₁ = - перший член геометричної прогресії; q = - знаменник прогресії.

Тому

S = A₀  .

Врахувавши те, що Т =δ, одержимо

S = 0,01  = 4 (м)

Відповідь: S = 4 м.

Приклад 9. До спіральної пружини жорсткістю 10 Н/м підвісили тягарець масою 10 г і занурили всю систему у в’язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору середовища рівним 0,1 кг/с, визначити: а) частоту ₀ власних коливань; б) резонансну частоту _рез; в) резонансну амплітуду А_рез, якщо змушуюча сила змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F₀ = 0,02 Н; г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення пiд дією сили F₀.

Аналіз теорії задачі.

На тягарець, який здійснює коливання, окрім сили тертя і пружної сили, діє зовнішня сила, яка змінюється за гармонічним законом.

З урахуванням дії всіх сил диференціальне рівняння коливань матиме вигляд:

m + r + kx = F₀ cos  t (1)

Поділимо рівняння (1) на масу тягарця m і введемо позначення:

; ; , одержимо

+ 2  + ₀² x = f cos t (2)

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Рoзв’язком такого рівняння є функція, яка складається з двох частин:

x = A₀e^-t cos(t + ) + A cos (t + ) . (3)

Через деякий час під дією змушуючої сили коливання тягарця стануть стабільними. Тому розв’язком рівняння (2) буде лише функція

x = A cos (t + ). (4)

Першу та другу похідні від (4) підставимо в (2):

= - A sin (t + ) = Acos (t +  + /2),

= - A² cos (t + ) = A² cos (t +  + ) ,

A² cos (t +  + ) + 2  A cos (t +  + /2) +

+ A² cos (t + ) = f₀ cos t (5).

Введемо позначення: А₁ = A²; A₂ = 2  A; A₃ = A ₀²; A₄=f₀.

Для знаходження амплітуди А вимушених коливань скористаємось векторною діаграмою, на якій відкладемо амплітуди А₁, А₂, А₃, А₄ згідно з (5) (рис.6)

A₄² = A₂² + (A₃ - A₁)², або врахувавши позначення, одержимо:

f₀² = 4² A² ² + (₀² - ²) A²

Звідки маємо:

A = . (6)

Аналіз виразу (6) амплітуди вимушених коливань:

а)  << ₀, тобто   0

A_ст = , (7)

де А_ст - статичне зміщення тягарця під дією сталої сили F₀.

б)   ₀

A_р = , (8)

де А_р - резонансне значення амплітуди.

При   0, А_p  .

Для знаходження резонансної частоти і резонансної амплітуди дослідимо на максимум підкореневий вираз формули (6):

= 0 .

Звідки

_р = , (9)

де _р - резонансна частота вимушених коливань.

Значення _р з (9) підставимо в (6)

A_р = . (10)

Якщо   0, то A_р = , що співпадає з формулою (8).

Розв’язування:

а) Частота ₀ власних коливань тягарця дорівнює

₀ = = 5,03 c^-1.

б) Резонансна частота знаходиться за формулою (9)

_р =

= 4,91 c^-1 .

в) Резонансну амплітуду знайдемо за формулою (10):

A_рез = = 6,4  10^-3 (м).

г) Відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення тягарця, тобто добротність коливної системи, дорівнює

=

= = 160 .

Відповідь: ₀ = 5,03 с^-1; _р = 4,91 с^-1; А_р = 6,4 мм;  = 160.