Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
0403085_17A46_zaycev_m_v_lekcii_po_lineynoy_alg...doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
4.83 Mб
Скачать

Характеристический многочлен оператора

1. Определения

А – матрица оператора в некотором базисе пр-ва V.

Опр. Многочлен от переменной t называют многочленом оператора А.

не зависит от выбора базиса: если В – матрица А в другом базисе, то и .

Опр. Характеристический корень оператора: – характеристический корень, если .

Замечание. – характеристический корень – собственное значение оператора.

2. Геометрическая и алгебраическая кратность.

Пусть А – линейный оператор на V.

Обозначим: – множество всех векторов из V с собственным значением , включая нулевой вектор.

Тогда – подпространство V.

Опр. геометрическая кратность .

Опр. Алгебраическая кратность - кратность корня в многочлене .

Лемма. , где , .

Пусть – матрица А в каком-нибудь фиксированном базисе, а Х – столбец координат вектора v. Тогда , т.е. – подпространство решений системы

Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.

Выберем базис в и дополним его до базиса всего V. Пусть А – матрица А в , тогда

, ()

где имеет размер , а - и

19.02.05

3. Спектр оператора

Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.

Опр. A – оператор с простым спектром, если , где различны и принадлежат F.

Пример: операция поворота плоскости на угол .

,

Корни A – оператор с простым спектром над , но не над .

4. Диагонализируемые операторы

Опр. Aдиагонализируемый оператор, если существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A, т.е. A имеет в некотором базисе матрицу диагонального вида

Лемма. Если - собственные векторы оператора A с различными собственными значениями, то они линейно независимы.

Индукция по k.

База индукции: k=1 – очевидно. Пусть k>1.

- собственные значения и . Тогда , т.е. . Одно из чисел отлично от 0. Пусть . Тогда и (по индукции) все коэффициенты

Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

, , с простым спектром.

, различны.

Каждому соответствует по лемме векторы линейно независимы, т.е. - базис V (а это и есть определение диагонализируемого оператора)

Обратное неверно (например, тождественный оператор является диагнолизируемым, но он не имеет простого спектра).

Теорема. A диагонализируема

  1. все корни принадлежат F

  2. геометрическая кратность любого корня равна его алгебраической кратности

1.

Пусть A диагонализируема, , его собственные значения, dim V = n, - матрица A в некотором базисе из собственных векторов.

Перенумеруем (если необходимо) базис V:

Вычислим :

Все его корни лежат в F (т.к. разложим на линейные множители)

Геометрическая кратность:

Алгебраическая кратность:

Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.

2.

Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.

Тогда , ,

Рассмотрим сумму подпространств . Если , , то по предыдущей лемме , т.е. - прямая сумма. Кроме того,