
- •Зайцев м. В. Лекции по линейной алгебре.
- •1. Определения.
- •2. Линейная зависимость.
- •4. Матрицы перехода от базиса к базису.
- •5. Координаты в различных базисах.
- •6. Изоморфизм векторных пространств.
- •Подпространство
- •1. Определение.
- •2. Линейная оболочка.
- •3. Сумма и пересечение двух подпространств.
- •4. Прямая сумма подпространств.
- •Линейные и сопряженные пространства
- •1. Определение.
- •2. Определение.
- •Линейные отображения и операторы
- •1. Линейные отображения.
- •2. Задание линейных отображений матрицами.
- •Характеристический многочлен оператора
- •1. Определения
- •2. Геометрическая и алгебраическая кратность.
- •3. Спектр оператора
- •4. Диагонализируемые операторы
- •5. Минимальный многочлен оператора
- •6. Теорема Гамильтона-Кэли
- •Жорданова нормальная форма
- •1. Корневое подпространство
- •Нильпотентные операторы
- •3. Разложение в сумму корневых подпространств
- •4. Нормальный базис для нильпотентного оператора
- •5. Жордановы матрицы
- •6. Единственность жнф
- •1. Определение.
- •2. Матрица билинейной формы.
- •3. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса.
- •4. Симметрические и кососимметрические билинейные формы.
- •5. Канонический базис для симметрической билинейной формы.
- •6. Квадратичные формы
- •7. Алгоритм Лагранжа (приведения к каноническому виду).
- •8. Вещественные квадратичные формы
- •9. Теорема Якоби.
- •10. Положительно определенные квадратичные формы.
- •11. Канонический вид кососимметричной бф
- •Евклидовы пространства
- •3. Угол между векторами
- •4. Ортогональные векторы
- •5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •6. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта
- •6. Ортогональные дополнения
- •8. Сопряжённые операторы
- •9. Самосопряжённые операторы
- •10. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •Ортогональные операторы
- •1. Основные понятия
- •2. Канонический базис для ортогонального оператора.
- •3. Полярное разложение.
- •Унитарные пространства
- •1. Эрмитовы (полуторалинейные) формы.
- •2. (Эрмитово) скалярное произведение.
- •3. Ортогональность.
- •4. Унитарные и эрмитовы матрицы.
- •6. Сопряжённый оператор.
- •6. Эрмитовы операторы.
- •7. Унитарные операторы.
- •Аффинные точечные пространства
- •2. Изоморфизм
- •3. Координаты в аффинном пространстве.
- •4. Подпространства.
- •Евклидовы точечные пространства
- •1. Евклидова метрика.
- •2. Расстояние от точки до плоскости.
- •3. Расстояние между плоскостями.
- •Квадрики в аффинном пространстве
- •1. Квадратичные функции в аффинном пространстве
- •2. Координатная запись
- •3. Центральная точка
- •4. Нахождение центра
- •5. Приведение квадратичной функции к каноническому виду.
- •Тензоры
- •1. Основные понятия.
- •2. Интерпретация тензоров малых рангов.
- •3. Произведение тензоров.
- •4. Координаты тензоров.
- •5. Изменение координат тензора при замене базиса
- •6. Свёртки тензоров.
- •Кососимметричные тензоры
- •Тензорная алгебра векторного пространства
- •Внешняя алгебра векторного пространства (алгебра грассмана)
- •1. Внешнее умножение.
- •2. Ассоциативность внешнего произведения.
- •3. Базис внешней алгебры.
- •4. Связь с определителями
Характеристический многочлен оператора
1. Определения
А – матрица оператора в некотором базисе пр-ва V.
Опр.
Многочлен от переменной t
называют
многочленом оператора А.
не зависит от выбора базиса: если В –
матрица А в другом базисе, то
и
.
Опр.
Характеристический корень оператора:
– характеристический корень, если
.
Замечание. – характеристический корень – собственное значение оператора.
2. Геометрическая и алгебраическая кратность.
Пусть А – линейный оператор на V.
Обозначим:
– множество всех векторов из V с
собственным значением
,
включая нулевой вектор.
Тогда
– подпространство V.
Опр.
– геометрическая кратность
.
Опр. Алгебраическая кратность - кратность корня в многочлене .
Лемма.
,
где
,
.
Пусть
– матрица А в каком-нибудь фиксированном
базисе, а Х – столбец координат вектора
v. Тогда
,
т.е.
– подпространство решений системы
Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.
Выберем базис в и дополним его до базиса всего V. Пусть А – матрица А в , тогда
,
()
где
имеет размер
,
а
-
и
19.02.05
3. Спектр оператора
Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.
Опр. A
– оператор с простым спектром, если
,
где
различны и принадлежат F.
Пример: операция поворота плоскости
на угол
.
,
Корни
A – оператор с простым спектром над
,
но не над
.
4. Диагонализируемые операторы
Опр. A – диагонализируемый
оператор, если существует базис
пространства V, состоящий из собственных
векторов оператора A, т.е. A имеет
в некотором базисе матрицу диагонального
вида
Лемма. Если
- собственные векторы оператора A с
различными собственными значениями,
то они линейно независимы.
Индукция по k.
База индукции: k=1 – очевидно. Пусть k>1.
-
собственные значения
и
.
Тогда
,
т.е.
.
Одно из чисел
отлично от 0. Пусть
.
Тогда
и
(по
индукции) все коэффициенты
Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.
,
,
с простым спектром.
, различны.
Каждому
соответствует
по лемме векторы
линейно независимы, т.е.
-
базис V (а это и есть определение
диагонализируемого оператора)
Обратное неверно (например, тождественный оператор является диагнолизируемым, но он не имеет простого спектра).
Теорема. A диагонализируема
все корни принадлежат F
геометрическая кратность любого корня равна его алгебраической кратности
1.
Пусть A диагонализируема,
,
его собственные значения, dim V = n,
- матрица A в некотором базисе из
собственных векторов.
Перенумеруем (если необходимо) базис V:
Вычислим
:
Все его корни лежат в F (т.к. разложим на линейные множители)
Геометрическая кратность:
Алгебраическая кратность:
Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.
2.
Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.
Тогда ,
,
Рассмотрим сумму подпространств
.
Если
,
,
то по предыдущей лемме
,
т.е.
- прямая сумма. Кроме того,