Характеристический многочлен оператора
1. Определения
А – матрица оператора в некотором базисе пр-ва V.
Опр.
Многочлен от переменной t
называют
многочленом оператора А.
не зависит от выбора базиса: если В –
матрица А в другом базисе, то
и
.
Опр.
Характеристический корень оператора:
– характеристический корень, если
.
Замечание. – характеристический корень – собственное значение оператора.
2. Геометрическая и алгебраическая кратность.
Пусть А – линейный оператор на V.
Обозначим:
– множество всех векторов из V с
собственным значением
,
включая нулевой вектор.
Тогда
– подпространство V.
Опр.
– геометрическая кратность
.
Опр. Алгебраическая кратность - кратность корня в многочлене .
Лемма.
,
где
,
.
Пусть
– матрица А в каком-нибудь фиксированном
базисе, а Х – столбец координат вектора
v. Тогда 
,
т.е.
– подпространство решений системы
Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.
Выберем базис в и дополним его до базиса всего V. Пусть А – матрица А в , тогда
,
()
где
имеет размер
,
а
-
и
19.02.05
3. Спектр оператора
Опр. Спектром оператора A называется множество всех его собственных значений.
Опр. A 
– оператор с простым спектром, если
,
где
различны и принадлежат F.
Пример: операция поворота плоскости
на угол 
.
,
Корни
A – оператор с простым спектром над 
,
но не над
.
4. Диагонализируемые операторы
Опр. A – диагонализируемый
оператор, если существует базис
пространства V, состоящий из собственных
векторов оператора A, т.е. A имеет
в некотором базисе матрицу диагонального
вида
Лемма. Если
- собственные векторы оператора A с
различными собственными значениями,
то они линейно независимы.
Индукция по k.
База индукции: k=1 – очевидно. Пусть k>1.
-
собственные значения
и
.
Тогда
,
т.е.
.
Одно из чисел
отлично от 0. Пусть
.
Тогда
и 
(по
индукции) все коэффициенты
Теорема. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.
,
,
с простым спектром.
, различны.
Каждому
соответствует
по лемме векторы
линейно независимы, т.е.
-
базис V (а это и есть определение
диагонализируемого оператора)
Обратное неверно (например, тождественный оператор является диагнолизируемым, но он не имеет простого спектра).
Теорема. A диагонализируема
все корни принадлежат F
геометрическая кратность любого корня равна его алгебраической кратности
1.
Пусть A диагонализируема,
,
его собственные значения, dim V = n,
- матрица A в некотором базисе из
собственных векторов.
Перенумеруем (если необходимо) базис V:
Вычислим
:
Все его корни лежат в F (т.к. разложим на линейные множители)
Геометрическая кратность:
Алгебраическая кратность:
Значит, алгебраическая кратность равна геометрической.
2.
Пусть разлагается над F на линейные множители и алгебраическая кратность любого корня равна его геометрической кратности.
Тогда , 
,
Рассмотрим сумму подпространств
.
Если
,
,
то по предыдущей лемме
,
т.е.
- прямая сумма. Кроме того,
