Евклидовы точечные пространства
1. Евклидова метрика.
Опр.
Аффинное пространство
называется евклидовым точечным
пространством, если
-
евклидово векторное пространство.
Опр.
Расстояние между точками:
Свойства
метрики
:
i)
ii)
iii)
- неравенство треугольника
Опр.
Система координат
называется
прямоугольной, если
- ортонормированный базис
.
Опр.
Отображение
называют изоморфизмом евклидовых
пространств
и
,
если
-
изоморфизм аффинных пространств и
Теорема. Любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны.
Пусть
и
прямоугольные системы координат в
и
.
Зададим
.
,
.
Тогда
изоморфизм
аффинных пространств, а
сохраняет
длины векторов, т.е.
- изоморфизм евклидовых точечных
пространств.
2. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть
- евклидово пространство,
,
и
-
точки из
.
Прямую, проходящую через
и
будем обозначать как
.
Пусть
- плоскость размерности
в
,
и
.
Опр.
Прямая
перпендикулярна плоскости
,
если
,
т.е.
.
Предложение.
Если
,
,
и
,
то
.
Из
следует
.
.
Пусть
теперь
,
-подпространство
в
,
,
-
базис
,
- базис
.
Теорема.
Из точки
можно опустить перпендикуляр
к
,
.
Его длина
есть кратчайшее расстояние от
до
.
Точка
находится из условия
,
(*)
где
,
а
где
,
а
- определитель Грама.
Тогда
.
Положим
,
.
Поскольку
,
то
,т.е.
.
Вычислим
координаты
в
базисе
.
Тогда
Отсюда
Получаем
систему уравнений
Ее определитель, это
- определитель Грама. Не равен нулю, т.к.
вектора линейно независимы. По правилу
Крамера система имеет единственное
решение задаваемое (*).
3. Расстояние между плоскостями.
Пусть
и
- две плоскости в евклидовом пространстве
Опр.
Отрезок
- общий перпендикуляр к
и
,
если
и
.
Лемма 1. Любые две плоскости имеют общий перпендикуляр.
Пусть
,
.
Будем искать точки
,
такие
что
и
.
Т.к.
,
то
.
Разложим V в сумму
.
Тогда
.
Тогда
и
определены
однозначно, причем
.
Отсюда
.
Если взять
,
то
.
Т.е.
поэтому
- общий перпендикуляр к
и
.
Лемма
2. Если отрезок
- общий перпендикуляр к
и
,
то
.
Пусть
,
,
.
Тогда
,
.
Отсюда
.
.
Т.к.
- общий перпендикуляр к
и
,
то
. Следовательно
Теорема.
Для любых двух плоскостей
и
в
найдутся такие точки
,
что выполнено
и отр.
- общий перпендикуляр к
и
,
он определен однозначно
.
(
u
- направляющие плоскости
и
).
Существование
доказано в Лемме 1 и Лемме 2. Пусть
и
-
два перпендикуляра.
Тогда
,
так что
,
.
Как и в Лемме2
(*). Поскольку
и
два
перпендикуляра, то
.
Следовательно
.
Таким образом при
общий перпендикуляр только один. Если
же
,
то
,
то и
-
общий перпендикуляр.
2.04.05
Определитель Грама и объем параллелепипеда.
Пусть E – евклидово аффинное пространство,
V – ассоциированное с ним векторное евклидово пространство
,
,
-
ортонормированный базис
Опр.
Параллелепипед в E, заданный
точками
Объем
зададим так:
Теорема.
Заметим,
что
,
;
Итак,
.
Аффинная группа
Пусть
(A,V) – n-мерное аффинное пространство,
и
-биективное
аффинно-линейное отображение, то есть
.
Обозначим
.
Так как f-биективное, то
.
Покажем,
что
- тоже аффинное-линейное. Для этого
покажем, что
Так
как
,
то
.
Но
,
.
То есть
- аффинно-линейное.
Есть
тождественное отображение
.
Оно аффинно-линейное, его дифференциал
Так как умножение ассоциативно, то можно взять все биективные аффинно-линейные отображения A в себя (операция композиции), получим группу.
Осталось проверить только, что композиция задана корректно.
Теорема.
Совокупность 
всех аффинных биективных преобразований
(т.е. аффинно-линейное отображение
)
образует группу.
Не доказано только, что если f и g – аффинно-линейные, то и fg - тоже аффинно-линейное.
Пусть
.
Тогда
,
то есть
-аффинно-линейное
с дифференциалом
.
Самые простые преобразования – параллельные переносы и сдвиг.
Опр.
Отображение
,
называют
сдвигом на
в
A, где
.
Если
,
то есть
-аффинно-линейное
отображение
.
Оно биективно, значит
- аффинное преобразование.
Ясно,
что
.
- абелева подгруппа в
.
G- группа, f- ее подгруппа.
Опр.
(H - нормальная подгруппа в G), если
она выдержанно сопряжена любым групповым
элементам, т.е.
.
-группа
всех невырожденных матриц над полем K.
Теорема (о структуре аффинной группы).
1)
Подгруппа сдвигов T –
нормальная в
,
и равна ядру гомоморфизма 
, где
.
2)
Аффинное преобразование, оставляющее
неподвижной некоторую точку
,
образующую подгруппу, изоморфную
.
Доказательство.
1) Мы
уже доказали, что
Это
и означает, что
гомоморфизм
групп 
,
Гомоморфизм сюръективен.
Пусть
теперь
.
Тогда
.
Докажем, что этим свойством обладает только сдвиг.
Заметим,
сначала, что если
,
,
то
,
.
Поэтому
.
Вектор
не зависит от
,
так как если
,
то
.
Обозначим
.
Тогда
,
то есть
.
В ядре, кроме сдвигов, ничего нет.
2)
Очевидно, что
-подгруппа
в An.
Так как
не содержит сдвигов, то ограничение D
на H инъективный гомоморфизм
.
Покажем теперь его сюръективность.
Построим нужное аффинное преобразование.
Пусть
,
где F произвольный невырожденный оператор
на V.
Тогда
если
,
то
,
то есть f-аффинное преобразование,
причем
и
.
Следовательно,
-изоморфизм
групп.
Теорема.
Любое аффинное преобразование
можно
представить в виде композиции
,
где
.
Возьмем
,
положим
.
Тогда g-аффинно-линейное
преобразование.
.
Очевидно,
.
Координатная запись аффинных преобразований
Пусть
система
координат в аффинном пространстве
и
–аффинное
преобразование с линейной частью
.
Пусть
F – матрица
в
базисе
,
а
– координаты точки
в той же системе координат, то есть
.
p - точка с координатами
.
Тогда
.
Если
- координаты вектора
,
то
.
То
есть
.
Отсюда
и
если
–
координаты
,то
или
,
где
.
4 апреля 2005
n=3 Примеры движений
Собственное
В
екторное
движение – поворот вокруг некоторой
прямой и сдвиг на вектор, параллельный
оси вращения, т.е.
Ч
астные
случаи – сдвиг или вращение
Н
есобственное
1
)
вращение с отражением
2
)
скользящая симметрия (отражение
относительно некоторой плоскости
и сдвиг на вектор, параллельный
)
Теорема.
Любое собственное движение
трёхмерного евклидового пространства
является винтовым движением. Любое
несобственное движение
является либо вращением с отражением,
либо скользящей симметрией.
Пусть
-
евклидово пространство,
,
-
движение. В
существует ортонормированный базис
,
,
,
канонический для
.
Зафиксируем начало координат – точку
.
Тогда
1)
или 2)
или 3)
или 4)
Случай 1
,
Случай 2
Как
и при n=2 находим
такие, что
Тогда
после переноса начала координат в точку
имеем
в новых координатах. Т.е. - винтовое движение.
Случай 3
Вводим
новые координаты:
,
,
.
Тогда
т.е.
это сдвиг на вектор
и отражение относительно плоскости
.
Случай 4
Ищем
точку
,
,
как решение системы
Это
возможно, т.к. матрица
невырождена
.
Переносим
начало координат в точку
,
получаем
В
новых координатах это поворот в плоскости
с отражением относительно этой плоскости.
