9. Самосопряжённые операторы

Опр. Оператор самосопряжён в евклидовом пространстве , если .

Лемма 1. Пусть — линейный оператор на над и . Тогда существует ненулевое инвариантное подпространство размерности меньше 2 (т.е. и ).

Если имеет собственный вектор , то — это инвариантное подпространство размерности 1, и всё доказано. Так что будем считать, что собственных векторов у нет. Рассмотрим минимальный многочлен : . В его разложении на множители над будут множители степени 2 и только они (если есть множитель степени 1, то есть и собственный вектор, противоречие). Выделим один из них. Таким образом и . Рассмотрим оператор . Так как , то многочлен не минимальный и, значит, . Пусть , а и . Пусть . Тогда . Осталось доказать лишь, что , то есть, что . Пусть . Тогда . Однако, из определения , . Отсюда .

Лемма 2. Пусть — самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве , — инвариантное подпространство для . Тогда и также инвариантно для .

, . Итак

Теорема. Пусть — самосопряжённый оператор на евклидовом пространстве . Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов .

Индукция по . — очевидно.

Пусть (именно этот случай мы будем использовать в шаге), — ортонормированный базис V, — матрица оператора в этом базисе. Из самосопряжённости , следует, что:

.

у есть хоть один действительный корень у есть собственный вектор . Но , а также инвариантно по лемме 2. Отсюда базис — искомый базис.

Пусть . По лемме 1 существует , . Тогда , а значит , где .

Опр. Матрица называется ортогональной, если , то есть .

Лемма 3. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса в к другому ортогональна.

Пусть и — два ортонормированных базиса. Пусть — матрица перехода от первого ко второму базису. Тогда . Из ортонормированности следует, что . С другой стороны, , что и означает, что .

10. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Пусть — квадратичная форма в .

Теорема. В найдётся ортонормированный базис , в котором имеет вид .

Пусть — произвольный ортонормированный базис в пространстве , и — матрица в этом базисе. Тогда , и, значит, существует линейный самосопряжённый оператор с матрицей . По предыдущей теореме существует ортонормированный базис из собственных векторов , в котором имеет диагональную матрицу . Значит . По лемме 3 , поэтому — диагональна. Но — матрица в .

Опр. Приведением квадратичной формы к главным осям называют переход к ортогональному базису в , где она имеет нормальный вид.

Ортогональные операторы

1. Основные понятия

Пусть — линейный оператор в евклидовом пространстве .

Опр. Оператор ортогонален, если он сохраняет скалярное произведение, то есть .

Лемма 4. ортогонален имеет ортогональную матрицу в ортонормированном базисе.

Пусть — ортонормированный базис , — матрица в этом базисе, , . Тогда . Поэтому ортогонален .

Лемма 5. Пусть — ортогональный оператор на евклидовом пространстве , — инвариантное подпространство для . Тогда и также инвариантно для .

По лемме 4 оператор — не вырожден. Тогда , и значит . Поэтому . Пусть — любой вектор, . Тогда и

, то есть .

12 марта 2005