Евклидовы пространства

1. Пусть - векторное пространство над

Опр. Симметрическая билинейная функция - скалярное произведение, если она положительно определена. Т.е. если вести обозначение :

1. 

2. 

3. 

2. Опр. Евклидово пространство - векторное пространство над с заданным на нем скалярным произведением

Опр. Матрица Грамма – на ij-том месте стоит , где - вектора базиса Евклидова пространства.

Опр. Длина (норма) вектора:

Свойства:

Теорема. (неравенство Коши - Буняковского)

при всех дискриминант уравнения отрицателен или равен нулю, где . Но

Следствие 1. (неравенство треугольника)

Следствие 2.

3. Угол между векторами

Существует единственный угол такой, что

Это угол между и .

4. Ортогональные векторы

Опр. и ортогональны, , если

Следствие 1. (теорема Пифагора)

Следствие 2. Диагонали ромба перпендикулярны

Опр. - ортогональный базис , если . - ортонормированный, если он ортогональный и

Теорема. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Пусть - квадратичная форма на . Она невырождена и положительно определена, следовательно, существует базис , в котором , т.е. матрица (и соответствующая ей матрица скалярного произведения) равна

5. Изоморфизм евклидовых пространств

Пусть и - два евклидовых пространства

Опр. - изоморфизм евклидовых пространств, если:

1. - изоморфизм векторных пространств

2. 

Теорема. Конечномерные евклидовы пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда

Пусть . Рассмотрим ортонормированные базисы . Если , то . Задаем отображение : . Тогда - изоморфизм векторных пространств, и

Обозначение. - n-мерное евклидово пространство.

6. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Теорема. Пусть - линейно независимые вектора . Тогда существует ортонормированная система такая, что для любого

Будем действовать пошагово. : .

Пусть уже построен. Тогда для любого i. Положим , где . Тогда , . Если , то нормируем его.

Следствие. Любую ортонормированную систему векторов в можно дополнить до ортонормированного базиса.

6. Ортогональные дополнения

Опр.

Свойство 1: - подпространство

Свойство 2:

Теорема. Пусть - конечномерное евклидово пространство. Тогда для любого подпространства выполнено равенство:

Если , то и не пересекаются . Пусть - ортонормированный базис и . Положим , и . Тогда , т.е. и

Следствие. . Если , то

8. Сопряжённые операторы

Пусть — евклидово пространство, .

Опр. сопряжён к (обозначается ), если .

Таким образом, по определению . Существование для любого оператора сопряжённого, докажем чуть позже.

Предложение. и

(1).

а значит, по предыдущей теореме .

(2). .

Теорема. Пусть — матрица оператора в ортонормированном базисе . Тогда имеет в этом базисе матрицу .

Обозначим . Пусть — матрица в базисе . Тогда:

, . Непосредственно из определения и ортонормированности базиса следует, что . Итак, доказано, что .

Замечание. Мы ещё не доказали существование сопряжённого оператора для любого, но это очевидно (достаточно положить = и провести аналогичное доказательство).