§ 2. Свойства электромагнитных волн

В предыдущем параграфе мы видели, что в электромагнитной волне векторы Е и Н перпендикулярны друг другу. Но кроме того они еще и перпендикулярны направлению распространения волны (которое тоже есть вектор). Взаимные расположения этих трех векторов в любой точке бегущей электромагнитной волны связаны правилом правого винта: если головку винта расположить в плоскости векторов Е и Н и поворачивать ее в направлении от Е к Н (по кратчайшему пути), то поступательное движение винта укажет направление распространения волны. Итак, векторы Е и Н колеблются в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения. Это означает, что электромагнитные волны являются поперечными волнами. Расположение векторов Е и Н в различных точках волны для одного и того же момента времени показано на рис 2.1.

Как уже упоминалось, электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне взаимно связаны друг с другом. Поэтому между мгновенными значениями Е и Н в любой точке существует определенное соотношение, которое также можно найти из уравнений Максвелла.

Для этого заметим, что любая функция вида

(2.1)

удовлетворяет волновому уравнению (1.6). Знак минус при этом относится к волне, распространяющейся в положительном направлении оси ОХ, а знак плюс – в отрицательном. Аналогично и для Н:

(2.2)

Понятно, что вид функции здесь другой. Важно подчеркнуть, что характер зависимости, как Е, так и Н от времени t и координаты х в бегущей волне не какой попало. Время и координата входят только в комбинации

(2.3)

Если посмотреть с такой точки зрения, то это означает, что Е и Н зависят только от одной переменной z, которая конечно связана с t и х соотношением (2.3). Если для определенности в (2.3) выбрать, например знак минус (что, как мы уже знаем, соответствует волне идущей вправо), то легко видеть:

и

Вспоминая (1.5) получаем:

или ,

где С обозначает постоянную интегрирования. Так как нас интересуют электромагнитные волны, т. е. только переменные поля, то С, которое выражает произвольное постоянное поле, можно не учитывать. Заменяя еще υ его выражением (1.7), находим окончательно

(2.4)

Эта формула показывает, что в распространяющейся электромагнитной волне Е и Н пропорциональны друг другу.

Из (2.4) следует, что Е и Н одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, т. е. находятся в фазе.

§ 3. Энергия и импульс электромагнитного поля

Наверное вы уже поняли, что основные свойства волн не зависят от их природы. Это касается и такого важного свойства как перенос энергии. Подобно механическим волнам, электромагнитные переносят энергию.

Электромагнитная волна в направлении своего распространения переносит некоторое количество энергии. Она содержится в электрическом и магнитном полях и пропорциональна квадратам напряженностей Е и Н этих полей.

Действительно, через 1 м² площадки, ориентированной перпендикулярно к направлению распространения волны, за единицу времени пройдет вся та энергия, которая содержится в объеме параллелепипеда с основанием 1 м² и высотой, равной скорости распространения υ. Эта энергия является важной характеристикой электромагнитного излучения (плотностью потока энергии) и обозначается через I. Так как в единице объема электрического и магнитного полей содержится энергия

(3.1)

то, имея в виду выражения (1.7), получим

и учитывая (2.4):

(3.2)

И все бы хорошо, только мы не забыли, что и Е и Н величины векторные, да и сама плотность потока энергии тоже вроде как должна бы кроме величины характеризоваться еще и направлением. Т.е. из двух векторов Е и Н нужно соорудить третий вектор I, причем так, что бы выполнялось (3.2). Как из двух векторов сделать третий? Кроме как векторное произведение ничего в голову не приходит. Вот и английскому ученому Пойнтингу не пришло. Он и ввел вектор плотности потока электромагнитной энергии:

I=[EH] (3.3)

который так и стали называть – вектор Пойнтинга.

Для особо продвинутых отметим, что исходя из уравнений Максвелла, можно совершенно строго доказать следующую важную теорему о движении энергии в электромагнитном поле (теорема Пойнтинга). Выделим внутри произвольной среды некоторый объем τ, ограниченный поверхностью S (рис. 3.1). Обозначим далее полную энергию, заключенную внутри объема τ, через W. Тогда

Здесь I_n — нормальная к поверхности составляющая вектора Пойнтинга, выражаемого формулой (3.3), а интегрирование производится по всей замкнутой поверхности S. При этом положительным считается направление внешней нормали п (рис. 3.3) т. е. поток считается положительным, если линии по-

тока энергии I выходят изнутри объема наружу.

Величина есть уменьшение полной энергии внутри объема τ за единицу времени. Согласно закону сохранения энергии она должна равняться той энергии, которая выходит через поверхность S за единицу времени наружу. Отсюда следует, что энергия, выходящая через поверхность S за единицу времени, выражается потоком вектора I через замкнутую поверхность S, ограничивающую рассматриваемый объем. Величину же I_n можно истолковать как энергию, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени.

Теорема Пойнтинга выражает интуитивно понятный факт: то, что делается на границе области, должно определяться тем, что происходит внутри нее¹.

Давайте теперь, пользуясь формулой (3.2) (или (3.3), что одно и то же, но (3.2) выглядит проще) посчитаем энергию, которую переносит простейшая монохроматическая волна. Электрическая и магнитная составляющие такой волны будут:

(3.4)

Здесь мы, опять же для простоты, считаем, что дело происходит в вакууме, и что начальная фаза равна нулю. Тогда из (3.2):

(3.5)

это та энергия, которая переносится за единицу времени, через площадку единичной площади, перпендикулярную направлению распространения волны и расположенную в точке с координатой х. Как то не очень понятно получилось: I зависит от времени, от координаты, причем при фиксированном х зависит как sin², т.е. периодически, а значит, через период все в этой точке х повторяется. Это наводит на мысль об усреднении по времени в пределах периода. Функции вида (3.4) имеют период , и усреднение I(x,t) в пределах периода выглядит так:

Это выглядит значительно проще. Средний за период поток энергии электромагнитной волны пропорционален квадрату амплитуды этой волны и называется интенсивностью, как и в случае упругих волн.