§ 6. Эффект Допплера.

Разберем вопрос о том, какова связь между колебаниями, испускаемыми источником, и колебаниями, воспринимаемыми каким-либо прибором, регистрирующим колебания, если источник и прибор движутся друг относительно друга. При этом для того, чтобы колебания могли от источника распространиться до прибора в виде волн, прибор и источник должны быть погружены в сплошную упругую среду. Предположим, что источник А испускает колебания периода Т, так что число колебаний, испускаемых в единицу времени, равно . Пусть некоторый прибор воспринимает колебания; число колебаний, воспринимаемых прибором в единицу времени, обозначим ν^'. Разберем связь между ν^' и ν для различных случаев движений прибора и источника относительно среды, в которой распространяются колебания. При этом для простоты предположим, что эти движения происходят по прямой, соединяющей источник с прибором.

В формулах, которыми мы будем пользоваться, введем определенное правило знаков скоростей источника и прибора. Условимся скорость и источника относительно среды считать положительной, если источник приближается к прибору. Если источник удаляется от прибора, его скорость будем считать отрицательной. Аналогичное условие введем для знака скорости υ прибора относительно среды: при приближении его к источнику считаем его скорость положительной, при удалении от источника — отрицательной. Скорость распространения колебаний в среде обозначим буквой V.

Рассмотрим первый случай: регистрирующий прибор А и источник В покоятся относительно среды, т. е. u= 0, υ= 0. Если колебания непрерывно идут мимо прибора, то он воспримет столько колебаний в единицу времени, сколько волн в единицу времени пройдет мимо него. Так как в единицу времени волна проходит расстояние c, то число воспринятых прибором колебаний равно

т. е. мы получили очевидный результат: число колебаний, воспринимаемых прибором в единицу времени, равно числу колебаний, испускаемых в единицу времени источником.

Второй случай: регистрирующий прибор движется относительно среды со скоростью υ; источник неподвижен, т. е. и = 0.

Сперва положим, что прибор движется по направлению к источнику, т. е. по установленному правилу скоростей υ>0. В этом случае мимо прибора за единицу времени пройдет большее число волн, чем в том случае, когда прибор покоится относительно среды, и которой распространяются волны. В самом деле, так как прибор движется навстречу волнам, то рассматриваемый случай эквивалентен тому, как если бы волны шли мимо прибора со скоростью, равной сумме скорости волны c и скорости прибора υ. Число волн, прошедших в единицу времени мимо прибора, равно

отсюда, так как 1/T=ν, то

(6.1)

т. е. число воспринятых прибором колебаний больше числа испущенных колебаний в раз.

Если прибор удаляется от источника, то по принятому правилу знаков его скорость υ<0. В этом случае число колебаний, воспринятых прибором, выразится также формулой (6.1), но так как будет меньше нуля, то ν^’ окажется меньше ν, т. е. число колебаний, воспринятых прибором, будет меньше числа испущенных колебаний.

Изменение числа колебаний, регистрируемых прибором, при движении прибора или источника относительно среды носит название явления или эффекта Допплера.

Если скорость υ прибора равна скорости волны, то прибор перемещается вместе с волной, и число воспринимаемых им в единицу времени колебаний равно нулю. Если скорость прибора больше скорости волн, то волны отстают от прибора, прибор отметит, что волны идут ему навстречу.

Рассмотрим теперь третий случай: источник движется относительно среды со скоростью и; регистрирующий прибор неподвижен, т. е. υ=0.

П оложим сперва, что источник движется к прибору: u> 0.

Так как скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, то за один период колебание распространится вперед на длину волны λ независимо от того, движется ли источник относительно среды или нет. За это время источник пройдет в направлении волны путь и Т (рис. 6.1), в результате чего длина волны окажется равной

λ’=λ - uT=сT - uT=(с - u)T

отсюда число колебаний, воспринятых прибором в единицу времени, увеличится вследствие укорочения длины волны и будет равно

или (6.2)

т. е. число колебаний, воспринятых прибором, увеличится в отношении .

Если бы источник удалялся от прибора (и < 0), то произошло бы увеличение длины волны на величину Δ λ =uT, в результате чего прибор воспринял бы уменьшенное число колебаний ν ^‘ < ν .

В четвертом, самом общем, случае предположим, что регистрирующий прибор и источник перемещаются одновременно относительно среды, в которой распространяются волны, (u≠0, и υ≠0).

Вследствие движения источника длина испускаемой им волны изменится и станет равной

λ ^‘=λ - uT

Вследствие движения прибора число воспринятых им за единицу времени колебаний окажется измененным в раз; в результате этих обеих причин число колебаний, воспринимаемых прибором, окажется равным

или

Таким образом, ν ' зависит по-разному от скорости прибора υ и скорости источника и относительно среды.

Если скорости υ и и направлены не по прямой, соединяющей прибор и источник, то следует брать их составляющие па эту прямую.

Изменение числа колебаний в зависимости от движения источника или регистрирующего прибора легко заметить при восприятии звуков. Частота звуковых колебаний определяет тон звука: чем больше число колебаний в единицу времени, тем выше тон. Когда свистящий паровоз с большой скоростью приближается к наблюдателю, то ясно слышно, как высота свиста меняется в тот момент, когда, пройдя мимо, паровоз начинает удаляться.