§ 2. Механика теории относительности.

Рассуждения, приведенные выше, показывают, что оптические (и электро­магнитные) явления подтверждают кинематику теории отно­сительности, вытекающую из преобразований Лоренца. Есте­ственно ожидать, что эти кинематические законы, дающие пространственно-временную характеристику явлений, должны быть одинаковыми для всех явлений природы. Поскольку преобразования Галилея, относительно которых инвари­антны законы ньютоновской механики, являются предель­ными выражениями преобразований Лоренца, при стремлении отношения υ_/'с к нулю, можно думать, что уравнения меха­ники Ньютона также являются предельными уравнениями не­которых более общих уравнений, инвариантных по отношению к преобразованиям Лоренца, как того требует теория отно­сительности.

Найти вид уравнений механики теории относительности можно, внеся в уравнения Ньютона такие изменения, которые делают их инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца.

Напишем уравнение механики Ньютона в векторной форме:

(mv) = f (1)

В механике Ньютона масса т считается величиной по­стоянной, независящей от состояния движения. Как можно показать, это предположение не совместимо с требованием инвариантности уравнений по отношению к преобразованию Лоренца. Требование, чтобы в механике теории относитель­ности, как и в механике Ньютона, для изолированной системы тел выполнялся в любой системе закон сохранения количества движения и учет законов преобразования скоростей при пе­реходе из одной системы в другую, приводит к выводу, что масса тела должна иметь разные значения в разных системах, находящихся в относительном движении. Закон преобразова­ния масс при этом окажется следующим:

m = m₀ / (2)

Здесь т₀ есть значение массы, измеренной в системе, в которой она покоится, а т — значение той же массы, измеренной в системе, движущейся относительно первой с по­стоянной скоростью υ. Уравнения механики окажутся инва­риантными по отношению к преобразованиям Лоренца, если в формуле (1) под массой т подразумевать величину, пре­образующуюся по закону (2). Таким образом, уравнения механики теории относительности принимают форму:

v) = f (3)

Очевидно, что эти уравнения, отличающиеся от уравне­ний Ньютона, должны приводить к иным следствиям, чем уравнения классической механики. Проверка этих следствий на опыте является проверкой и самих уравнений.

Как известно, в классической механике уравнение движения может быть записано в виде: p = f, где , р — количество движения. Сравнивая его с (3), видим, что в механике теории относительности роль количества движения играет величина:

p=m₀v/ =mv (4)

Исключительно важным следствием механики теории от­носительности является вытекающая из нее связь между энер­гией и массой. Установим это соотношение, основываясь на формуле (3). В классической механике изменение кинетиче­ской энергии материальной точки определяется по работе, совершенной силами, приложенными к точке. Проведем соот­ветственное рассмотрение для уравнения (3). Элементарная работа dА силы f равна скалярному произведению силы на перемещение dr точки:

dA=f · dr.

Эта величина должна давать приращение кинетической энергии точки:

dA =dE_k .

На основании формулы (3) имеем:

dE_k = dA = v) · dr

Выполняя дифференцирование, получим:

или, так как dr/dt равно скорости v, то

Следовательно:

С другой стороны, по формуле (2) находим:

Из сопоставления двух последних формул получаем следую­щую связь между dE_k и dт:

dE_k = c²dm (5)

Изменение энергии пропорционально изменению массы, при­чем коэффициентом пропорциональности является квадрат скорости света. Это положение естественно обобщить, считая что между энергией Е и массой т имеется общая связь, выражаемая соотношением:

Е = тс² (5а)

Масса и энергия являются характеристиками качественно различных свойств тех видов материи, которые рассматри­вает физика. Масса характеризует инерционные свойства ма­терии (второй закон Ньютона) и свойства, проявляющиеся в явлениях всемирного тяготения. Энергия является величиной, изменение которой определяет совершаемые системой работы. Вытекающие из теории относительности соотношения (5) и (5а) указывают, что между этими двумя характеристиками имеет место связь: изменение одной из них ведет к эквивалент­ному изменению другой. Изменение массы системы может произойти не только за счет обмена с внешними телами веществом (атомами, молекулами), но и за счет передачи системе энергии. Например, если системе передается коли­чество тепла ΔQ, в результате чего ее энергия возрастает на величину ΔЕ, то в соответствии с соотношением (5) одновременно возрастает и масса системы на величину Δm=ΔE/c².

Другой пример: если в результате излучения света энергия системы убывает на ΔЕ, то одновременно уменьшается ее масса на величину Δm=ΔE/c². Для замкнутой системы сохра­няется ее масса и сохраняется ее полная энергия.

Ввиду большого численного значения скорости света с в пу­стоте, определенному численному изменению энергии ΔЕ соот­ветствует малое изменение массы Δm. При увеличении энергии системы Е на 1 дж ее масса увеличивается лишь на Δm ≈ 1,1 • 10^-14 г. Поэтому при обычных изменениях энер­гии тел изменение их массы настолько мало, что оно не может быть непосредственно замечено. Однако современная физика имеет возможность проверить соотношение между энергией и массой, благодаря огромным количествам энергии, осво­бождаемым при ядерных превращениях.

Из соотношения между энергией и массой вытекает реля­тивистская форма связи между энергией и количеством движе­ния. Подставив в (5а) вместо т его значение по (2), получим:

возводя это равенство в квадрат и производя алгебраические преобразования, найдем:

или на основании (4):