9. Планы первого порядка. Дробный факторный эксперимент.

При большом числе факторов к>3 проведения полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели, можно ограничиваться лишь линейным приближением, то есть получить модель в виде полинома первой степени, то число y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_кх_к опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента.

Дробный факторный эксперимент предназначен для сокращения числа опытов. Запишем матрицу планирования.

N=2² (матрица 1)

N опытов	х0	х1	х2	х3(х1х2)	у
1	+	+	+	+	у1
2	+	-	+	-	у2
3	+	+	-	-	у3
4	+	-	-	+	у4

В полном факторном эксперименте 2² при линейном приближении коэффициента регрессии, коэффициент b₁₂ можно принять ровное 0, а столбец х₁,х₂ (эффект взаимодействия факторов х₁ и х₂) использовать для третьего фактора х₃. В этом случае линейная модель будет выражаться в следующем виде:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃х₃

Для определения коэффициентов этого уровня, достаточно провести 4 опыта, вместо 8 (N=2³).

Полуреплика – это план эксперимента предусматривающий реализацию половину опытов, полного факторного эксперимента.

При увеличении числа факторов к>3 возможно применение реплик большей дробности.

Дробной репликой называют – план эксперимента, являющейся частью плана полного факторного эксперимента.

Дробную реплику обозначают следующем выражением N=2^K-P, где

N – число опытов.

2 – число факторов «+» и «-».

K – число факторов.

P – число линейных факторов приравненных к эффекту взаимодействия.

При Р=1, получаем полу реплику.

Р=2, получаем ¼ реплику.

Р=3, получаем 1/8 реплику.

Р=4, получаем 1/16 реплику и т.д. по степеням 2.

Запишем матрицу полного факторного эксперимента типа N=2³.

Матрица 2.

Nопыта	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	у
1	+	-	-	+	+	-	-	+	у1
2	+	+	-	+	-	+	-	-	у2
3	+	-	+	+	-	-	+	-	у3
4	+	+	+	+	+	+	+	+	у4
5	+	-	-	-	+	+	+	-	у5
6	+	+	-	-	-	-	+	+	у6
7	+	-	+	-	-	+	-	+	у7
8	+	+	+	-	+	-	-	-	у8

В полном факторном эксперименте N=2³ один из коэффициентов взаимодействия (х₁х₂, х₁х₃, х₂х₃, х₁х₂х₃) полу реплику N=2^4-1=2³.

Если два коэффициента взаимодействия заменим функции х₄, х₅, то получим ¼ реплику. N=2^5-2=2³=8 можно получить1/8 реплику от полного факторного эксперимента 2⁶, заменив 3 эффекта взаимодействия х₄, х₅, х₆. Если заменить 4 эффекта взаимодействия функции х₄, х₅, х₆, х₇, то получим 1/16 реплику

N=2^7-4=2³=8 от полного факторного эксперимента N=2⁷.

Реплики, которые используют для сокращения опытов в 2^m, где m 1,2,3 и т.д. называются регулярными.

В связи с этим, что в дробных репликах, часть взаимодействий заменена …функции найденные нами коэффициента уровня регрессии будут являться совместными оценками линейных эффектов и эффектов взаимодействия.