5. Планирование экстремальных экспериментов. Планы первого порядка (назначение и основные особенности).

Все многообразие проводимых исследований можно условно разбить на 2 большие группы:

1. Метод однофакторного эксперимента (классический)

2. Метод многофакторного эксперимента

Однофакторный классический эксперимент предусматривает фиксирование на определенных уровнях всех переменных факторов кроме одного, который принимает дискретное значение в некоторой области своего существования.

При проведении однофакторного эксперимента, варьируя один фактор и стабилизировав остальные факторы на определенных выбранных уровнях, находят зависимость исследуемой величины от одного фактора. Проведя большое количество однофакторных экспериментов, получают зависимости представленные множеством графиков, которое носит иллюстративный характер.

Для того чтобы всесторонне изучить процесс при исследовании однофакторного эксперимента необходимо провести достаточно большое количество опытов. Следовательно, исследования проводятся длительное время (изменение условий). По этой причине оказываются несовместимыми большое количество опытов. Однофакторный эксперимент малопригоден для проведения больших опытов, проводится в дали от оптима.

6. Планы первого порядка. Однофакторный (классический) эксперимент.

Однофакторный классический эксперимент предусматривает фиксирование на определенных уровнях всех переменных факторов кроме одного, который принимает дискретное значение в некоторой области своего существования. (Способ наименьших квадратов).

8. Планы первого порядка. Полный факторный эксперимент.

Выбор области эксперимента производит на основе априорной информации. В этой области устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основные уровни факторов показывают его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни факторов выбирают таким образом, что бы их сочетания обеспечило или отвечало значению параметра оптимизации по возможности более близкое к оптимальному.

Интервалом варьирования фактора называют – число, прибавления которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание, нижний уровень фактора. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора.

Для удобства знаний, условий эксперимента и обработки экспериментальных данных, уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, основной уровень 0, нижний уровень -1.

Кодированное значение фактора определяют по формуле:

,где

х_i – номер фактора.

х_i – натуральное значение i – го фактора.

х_io – натуральное значение основного уровня i – го фактора.

Е_i – интервал варьирования i – го фактора.

Например: в эксперименте используется такой фактор, как температура, которая изменяется в интервале от 0 до 60⁰С, тогда в кодированном виде нижнему уровню -1, соответствует 0⁰С; верхнему уровню +1, соответствует 60⁰С; основному уровню 0, соответствует 30⁰С, а интервал варьирования будет равен 30⁰С.

При кодировании качественных факторов имеющие два уровня, один уровень обозначается +1, другой -1. Например: такой фактор, как скорость охлаждения (качественный фактор), верхний уровень +1, обозначено быстрое охлаждение, нижний уровень -1, обозначается медленное охлаждение.

Полный факторный эксперимент – это эксперимент, которым реализуется все возможные сочетания уровней факторов. Число опытов в полном факторном эксперименте определяется выражение:

N=m^k

где, N – число опытов.

m – число уровней каждого фактора.

k – число факторов.

Первый этап планирования экстремального эксперимента, имеется целью получения линейной модели. Он предусматривает варьирование факторов на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно: N=2^k

Факторный эксперимент осуществляет с помощью матрицы планирования, которая использует кодирование значений уровней факторов.

Например: для двух факторов, полный факторный эксперимент, можно представить следующей матрицей: N=2²=4

^{Матрица планирования эксперимента N=2}2

N	х1	х2	х3
1	-1	-1	у1
2	+1	-1	у2
3	-1	+1	у3
4	+1	+1	у4

Числами +1, -1 обозначены уровни факторов х₁, х₂ в опытах значений функции отклика, получено при выполнении опытов обозначено у₁, у₂, у₃, у₄.

Для удобства записей матриц планирования, вводится буквенная система. Факторы в соответствии с порядковым номером, обозначается буквами латинского алфавита, так например фактор х₁ обозначается буквой a, х₂ – b, х₃ – c, х₄ – d. Каждая строка матрицы планирования записывается в сочетании латинских букв, каждая буква обозначает соответствующий фактор находящейся на верхнем уровне. Опыт со всеми факторами на нижнем уровне обозначается (1).

Приведенную выше матрицу планирования можно представить в буквенной форме в следующем виде (1) a, b, ab. Из записи следует, что первая строка матрицы предусматривает проведения опыта с обоями факторами на нижнем уровне (1). Вторая строка, требует реализации опыта с фактором х₁ на верхнем уровне, х₂ – на нижнем уровне (а). Третья строка предусматривает х₁ – на нижнем уровне, х₂ - на верхнем уровне (b). Четвертая строка предусматривает реализацию опытов с факторами х₁, х₂ на верхнем уровне обозначается ab.

Нам необходимо получить линейную модель при k=2, линейная модель будет иметь вид y=b₀+b₁x₁+b₂x₂.

Значение коэффициентов b₀,b₁,b₂ определяют с помощью значений функции отклика, полученных в результате проведения опытов.

Под числом степеней свободы в статистике понимают, разность между числом опытов и количеством коэффициентов моделей, вычисленных по результатам опытов, независимо друг от друга.

Число степеней свободы f линейной модели определяют следующим образом f=N-(k+1), где N- число опытов, k – число факторов.

Так например, при двух факторах для определения коэффициентов уравнения регрессии y=b₀+b₁x₁+b₂x₂ достаточно располагать результатами трех опытов. Полный факторный эксперимент 2² состоит из четырех опытов. f= 4-(2+1)=1. Таким образом, число степеней свободы в нашем случае равно 1, оно может быть использовано при проверке адекватности модели.

Величина и знак коэффициента b₀,b₁,b₂ указывают на вклад данного фактора в общий результат. При переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний уровень.

Линейный эффект характеризует линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора.

Эффект взаимодействия – это эффект характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации.

Полный факторный эксперимент, позволяет полно определить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента N=2² уравнения регрессии с учетом эффекта взаимодействия, будет иметь вид

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂х₁х₂

Для данного эксперимента, матрица планирования будет иметь вид:

	х0	х1	х2	х1х2	у
1	+1	-1	-1	+1	у1
2	+1	+1	-1	-1	у2
3	+1	-1	+1	-1	у3
4	+1	+1	+1	+1	у4

В этой матрице содержится фиктивной переменной х₀, он вводится для оценки свободного коэффициента b₀.

Столбец х₁х₂ – получен путем перемножения столбцов х₁ и х₂.

При k=2 построение матриц полного факторного эксперимента, не вызывает затруднений, так как все возможные сочетания уравнений, получается простым перебором. При увеличении числа факторов, количество возможных сочетаний уравнений, быстро воздействуют, поэтому вызывает необходимость некоторых приемов построения матриц. Запишем матрицу при числе факторов 2, 3, 4.

	х0	х1	х2	х3	х4
1	+	+	+	+	+
2	+	-	+	+	+
3	+	+	-	+	+
4	+	-	-	+	+
5	+	+	+	-	+
6	+	-	+	-	+
7	+	+	-	-	+
8	+	-	-	-	+
9	+	+	+	+	-
10	+	-	+	+	-
11	+	+	-	+	-
12	+	-	-	+	-
13	+	+	+	-	-
14	+	-	+	-	-
15	+	+	-	-	-
16	+	-	-	-	-

Прием построений в первом столбце знаки чередуются поочередно, во втором через 2, в третьем через 4, в четвертом через 8, в пятом через 16 и так далее по степеням 2.