§ 5 Классы интегрируемых функций. Свойства определённого интеграла Римана.

1)Теорема Кантора. Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.

2) Свойства определённого интеграла Римана.

1. Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство  .

2. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется 

3.  для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x).

4.

5. Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем   и  , тогда  .

6. Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и   для любого значения аргумента  , то  .

7. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда справедливо неравенство  .

8. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] и   для любого значения аргумента  , тогда  , где   и  .

Методы вычисления определённого интеграла.

Интегрирование по частям

обобщённой формуле интегрирования по частям

формула прямоугольника .Если считать ,  то формула прямоугольников принимает вид .

Формула трапеции

Заменим данную кривую вписанной в неё ломаной с вершинами в точках (x_i, y_i), где y_i = f (x_i).

Тогда

,

где S₁, S₂, … , S_n - площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения).    И, таким образом,

Формула Симпсона

 — число отрезков,   — интегрируемая функция,   — аппроксимирующая функция (составленная из кусочков парабол),  ,   — концы исходного отрезка.

§ 6 Приложение определенного интеграла Римана.

Если полностью под осью: . Иначе без минуса.

Если на отрезке   некоторая непрерывная функция   больше либо равна некоторой непрерывной функции  , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: 

Объем тел вращения

Вычисление площади поверхности вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой   вокруг оси   , где   .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую   вокруг оси   , где 

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

§ 7 Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

 Пусть функция f(x) определена на полуоси   и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла   при   называется несобственным интегралом функции f(x) от a до   и обозначается  .  Итак, по определению,  . Если этот предел существует и конечен, интеграл   называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Докажем, что из сходимости   следует сходимость   при   . Из аддитивности интеграла следует, что при любом   имеет место равенство