4) Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

 Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Примеры:

Найти неопределенный интеграл.

Используем формулу:

5)Понятие о неберущихся интегралах

 интеграл   не берётся, если функция   не является элементарной.

  1.   2.   3.   4.  5.   6.  7.   8.     9.   10. 

§ 3 Определённый интеграл Ньютона. Свойства.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство  .

1. 

2.  где k - константа;

3. 

4. 

5. Если   для всех  , то  .

6. 

7. 

8. Если   в интервале [a, b], то 

§ 4 Определённый интеграл Римана.

1. Интегральная сумма Римана.

Пусть на отрезке   определена  функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка   — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок   на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков  , где  , называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке  . Интегральной суммой называется выражение  .

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора  , то это число называется интегралом функции f на отрезке  , т.е. 

В этом случае, сама функция   называется интегрируемой (по Риману) на  ; в противном случае  является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке  .

Геометрический смысл.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Необходимое условие интегрируемости функции

   Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.    Доказательство. Предположим обратное. Допустим, что f (x) является неограниченной на отрезке [a, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой за счет выбора точек ξ ₁, ξ ₂,…, ξ _n при любом разбиении отрезка [a, b].    Действительно, так как f (x) не ограничена на [a, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [x₀, x₁]. Выберем на остальных частях отрезка точки ξ ₂, ξ ₃,…, ξ _n произвольно и обозначим

Зададим произвольное число М > 0 и возьмем такое ξ ₁ на [x₀, x₁], чтобы

.

Это можно сделать в силу неограниченности функции f (x) на [x₀, x₁]. Тогда

 и  ,

т.е. интегральная сумма σ по абсолютной величине может быть больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма σ не имеет конечного предела при λ → 0, а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.    Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности функции f (x) необходимое, но не является достаточным условием интегрируемости функции. 

Понятие верхней и нижней сумм

     Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a, b] и T - разбиение этого сегмента точками a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. Обозначим через M_i и m_iсоответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [x_i-1, x_i]. Суммы

и

называются соответственно верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения T сегмента [a, b].

     Очевидно, что любая интегральная сумма I{x_i, ξ_i} данного разбиения T сегмента [a, b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

     Понятия верхней и нижней сумм становятся особенно ясными, если обратиться к геометрическим представлениям. Для простоты рассмотрим положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией (см. Рис. 1. и Рис. 2.).

          

Если T - некоторое разбиение сегмента [a, b], то числа M_i и m_i представляют собой в случае непрерывной функции f(x) максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [x_i-1, x_i] разбиения T. Поэтому верхняя сумма S равна площади, заштрихованной на Рис. 1. ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма s равна площади, заштрихованной на Рис. 2. ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (эта трапеция на рисунках 1 и 2 обведена жирной линией). Обозначим через   точную нижнюю грань множества {S} верхних сумм, а через   - точную верхнюю грань множества нижних сумм:

Числа   и   называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции f(x). 

Критерий Дарбу интегрируемости функции

Приведенные утверждения даны для функции одной переменной.

Пусть функция   определена и ограничена на отрезке  . Пусть   и   - верхний и нижний интегралы Дарбу функции   на заданном отрезке соответственно. Тогда следующие 3 условия эквивалентны:

•  интегрируема по Риману на отрезке  ,

• ,

• , где   и   — некоторое разбиение и его мелкость.

• Теорема о критерии сущ. интеграла по Риману

• Для того чтобы ограниченная функция   была интегрируемой на отрезке  , необходимо и достаточно, чтобы для любого   нашлось такое разбиение   отрезка  , при котором    или 

Теорема о среднем.

 Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка  , что

     (14)     В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

     Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

     Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству      Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

     Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.