§2 Интегрирование специальных функций

1)Интегрирование рациональных дробей

Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби.

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Примеры

Вычислить: 

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно 

Тогда 

Теперь легко вычислить исходный интеграл 

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Различают следующие виды простейших дробей:

1. 

2. 

3. 

4. 

Разложить дробь   на простейшие.

Выполним деление столбиком (уголком):

Рассмотрим какой – нибудь множитель ( х – а) кратности k, входящий в разложение знаменателя

Q_n (x) = (x − a)^k·Q₁(x)

дроби

,

( n > m), где Q₁(x) уже на (х – а) не делится. Тогда данная правильная дробь

может быть представлена в виде суммы правильных дробей

.

Для доказательства этого достаточно подобрать число А и многочлен Р₁(х) так, чтобы выполнялось тождество

P_m(x) − A_k·Q₁( x ) = ( x − a)·P₁(x).

В этом случае левая часть этого равенства имеет корень, равный х = а и поэтому

.

Из оставшейся части

выделим простую дробь

и т. д., пока множитель (х - а) вовсе не исчезнет из разложения знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю (х - а) ^k будет отвечать группа из k простых дробей

.

2)Интегрирование иррациональных функций.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей   используется подстановка  .  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме  , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.  Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида  , интегрируется с помощью подстановки  . 

Найти интеграл  .

Решение.

Сделаем подстановку:

      

Вычислим интеграл

      

3)Дифференциальный бином

Биномиальным дифференциалом называется выражение

в котором m, n, р — рациональные числа, а, b— постоянные, отличные от нуля. Интеграл

берется лишь в следующих трех случаях.

Случай I. Показатель р есть целое число

Случай 2. Есть целое число; интегралы

берутся подстановкой

Случай 3. Есть целое число; интегралы берутся подстановкой

Найти интеграл:

Решение. Здесь Т. е. р—целое число. Интеграл относится к первому случаю; он берется так же, как интегралы, рассмотренные в предыдущем параграфе. Вводим подстановку

мы имеем второй случай, следовательно, здесь нужно ввести подстановку

Таким образом, для заданного интеграла берем подстановку

Заданный интеграл равен: