§1 Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.

1)Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f (х) (или, короче, первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке Пример. Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как при любом х. Отметим, что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида , где С — произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.

Теорема 1. Если и — две первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х) данной функции f (х), то все множество первообразных для f (х) исчерпывается функциями F (х) + С. Выражение F (х) + С, где F (х) — первообразная функции f (х) и С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом , причем f (х) называется подынтегральной функцией ; — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования; ∫ — знак неопределенного интеграла. Таким образом, по определению если . Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a ; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная.

2) Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Свойства неопределенных интегралов:

1. , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. .

4. - свойство линейности; С₁, С₂ – постоянные.

5. Если , то .

Таблица неопределённых интегралов.

3)Методы интегрирования:

Непосредственное интегрирование-Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.