Індивідуальне завдання Економічний аналіз задач лінійного програмування

Застосувати теорію двоїстості для постоптимізаційного аналізу економічних задач (на прикладі задачі лінійного програмування ):

1. Побудувати математичну модель змістовної – економічної – задачі.

2. Для отриманої задачі лінійного програмування побудувати двоїсту.

3. Дати змістовну характеристику змінних прямої та двоїстої задач.

4. Розв’язати одну з задач лінійного програмування. На її основі побудувати розв’язок другої.

5. Розв’язати обидві задачі лінійного програмування за допомогою Microsoft EXCEL for WINDOWS (“Пошук рішень”) – результати порівняти.

6. Проаналізувати виконання основних теорем двоїстості:

- I основної теореми. Дати економічну інтерпретацію теореми.

- II основної теореми – теореми про доповнюючу нежосткість. Дати економічну інтерпретацію умовам доповнюючої нежосткості.

- III основної теореми – теореми про оцінки. Дати економічну інтерпретацію теореми.

- Провести постоптимізаційний аналіз:

7. Записати новий оптимальний план задачі за умови, що об’єм дефіцитного ресурсу зросте на одиницю, а також, що об’єм дефіцитного ресурсу зменшиться на одиницю. Якщо дефіцитний ресурс не один, то навести новий план у кожному випадку.

8. За допомогою програми “Пошук рішень” проаналізувати двоїсті оцінки на стійкість (з’ясувати інтервали стійкості оцінок).

9. Побудувати таблицю взаємозамінності ресурсів для задачі.

10. Проаналізувати доцільність випуску нової продукції (чи її аналогу) та величину запропонованої для неї ціни.

Приклад

Розглянемо задачу про вибір технологій на підприємстві.

За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити однорідний продукт. Цей виріб може бути виготовлений двома технологічними способами (технології 1 та 2 ).

Витрати ресурсів (S1, S2, S3, S4) за одиницю часу при відповідній технології та продуктивність кожної технології в грн. за одиницю часу розміщено в таблиці 6.1:

Таблиця 6.1

Сировина	Технологія 1	Технологія 2	Запаси	Технологія 3 (нова)
S1	3	1	120	1
S2	1	0	30	2
S3	4	3	240	3
S4	0	1	100	4
Продуктивність	3	2		5

У початковій задачі потрібно знайти такий план використання різних способів виробництва, який би дозволив отримати максимальну кількість однорідного продукту (продуктивність) за умовою використання наявних ресурсів. Тоді двоїста задача трактується таким чином: залишаючись у межах заданого, оцінимо виробничі фактори (внутрішню для даного виробництва оцінку обмежених ресурсів) та рентабельність відпрацьованих способів виробництва.

Одні й ті ж виробничі фактори для різних підприємств та районів мають різну цінність. Наприклад, зміна об’єму запасів різних ресурсів призводить до необхідності переоцінки цих факторів.

Відносність оцінок факторів виробництва пов’язана також з тим, що ці оцінки вимірюються в одиницях цінності виробничої продукції.

Цінність же продукції визначається умовами, зовнішніми по відношенню до даного виробництва.

Тепер складемо пряму та двоїсту задачі, знайдемо їх розв’язок та зробимо економічний післяоптимізаційний аналіз за такою схемою:

1)Аналіз основних та додаткових змінних прямої задачі.

2)Аналіз двоїстих змінних:

а) виявлення ресурсів, які маємо в резерві;

б) встановлення цінності ресурсів;

в) вказуємо зміну плану x* при збільшенні кожного ресурсу на одиницю.

3) Аналіз додаткових двоїстих змінних.

4) Розрахунок коефіцієнтів взаємозаміни.

5) Визначення доцільності освоєння нових технологій (норми затрат вибрати самостійно).

Побудуємо математичну модель прямої задачі:

f(x)=3x₁+2x₂ max f(x)=3x₁+2x₂ max

3x₁+x₂ 120 Перейдемо 3x₁+x₂+x₃=120

x₁ 30 до x₁+x₄=30

4x₁+3x₂ 240 канонічної 4x₁+3x₂+x₅=240

x₂ 100 форми x₂+x₆=100

x_j 0 , (j= ) x_j 0, (j= )

Перехід здійснено шляхом введення додаткових змінних x₃, x₄ x₅ x₆.

Побудуємо двоїсту задачу:

z(y)=120y₁+30y₂+240y₃+100y₄ min

3y₁+y₂+4y₃ 3 Перейдемо 3y₁+y₂+4y₃ - y₅ = 3

y₁+3y₃ 2 до канонічної y₁+3y₃ - y₆ =2

y_i 0, (i= ) форми y_i 0, (i= )

Знаходимо розв’язок прямої та двоїстої задач:

x*=(24,48,0,6,0,52),

y*=(1/5,0,3/5,0,0,0). При цьому f(x*)=z(y*)=168

Побудуємо математичну модель прямої задачі:

f(x)=3x₁+2x₂ max f(x)=3x₁+2x₂ max

3x₁+x₂ 120 Перейдемо 3x₁+x₂+x₃=120

x₁ 30 до x₁+x₄=30

4x₁+3x₂ 240 канонічної 4x₁+3x₂+x₅=240

x₂ 100 форми x₂+x₆=100

x_j 0 , (j= ) x_j 0, (j= )

Перехід здійснено шляхом введення додаткових змінних x₃, x₄ x₅ x₆.

Побудуємо двоїсту задачу:

z(y)=120y₁+30y₂+240y₃+100y₄ min

3y₁+y₂+4y₃ 3 Перейдемо 3y₁+y₂+4y₃ - y₅ = 3

y₁+3y₃ 2 до канонічної y₁+3y₃ - y₆ =2

y_i 0, (i= ) форми y_i 0, (i= )

Знаходимо розв’язок прямої та двоїстої задач:

x*=(24,48,0,6,0,52),

y*=(1/5,0,3/5,0,0,0). При цьому f(x*)=z(y*)=168

Післяоптимізаційний аналіз:

1. Аналіз основних та додаткових змінних прямої задачі.

x₁,x₂-основні змінні;

x₃,x₄,x₅,x₆-додаткові змінні.

Основні змінні прямої задачі означають час виробництва одиниці продукції за першою та другою технологіями.

Додаткові змінні - залишок сировини S₁ та S₂.

Таким чином, внаслідок розв’язування задачі отримано, що за першою технологією необхідно працювати 24 одиниці часу (x₁*=24), а за другою технологією – 48 одиниць часу (x₂*=48). При цьому першу та третю сировину (S₁, S₃) використано повністю (x₃*=x₅*=0), сировина S₂ має залишок x₄*=6 одиниць, а сировина S₄ - залишок x₆*=52 одиниць.

2. Аналіз двоїстих змінних

y₁*,y₂*,y₃*,y₄* - двоїсті оцінки - це внутрішні ціни одиниць сировини .

Повністю використані (дефіцитні) ресурси S₁ та S₃ мають додатну оцінку - y₁*=1/5 та y₃*=3/5.

Надлишкові ресурси (S₂ та S₄) мають нульові оцінки : y₂*=0 та y₄*=0 ( тобто не мають цінності в даних умовах виробництва).

Перевіримо виконання обмежень на ресурси :

3x₁+x₂=120=72+48 y₁*=13x₁+x₂=120=72+48 y₁*=1/5 0

x₁ 30 x₁*=24 y₂*=0 надлишок - 6 одиниць ресурсу

4x₁+3x₂=240=96+144 y₃=3/5 0

x₂ 100 x₂*=48 y₄*=0 надлишок - 52 одиниці ресурсу

Якщо збільшити запаси сировини S₁ на одиницю, то цільова функція (продуктивність виробництва) збільшиться на величину y₁*=1/5, а якщо збільшити сировину S₃ на одиницю – на y₃*=3/5.

Найбільш цінний дефіцитний ресурс – це ресурс з оцінкою y₃*=3/5, так як його додаткове придбання збільшує цільову функцію на 3/5 при змінні ресурсу на одиницю (3/5>1/5).

При збільшенні першого ресурсу на одиницю оптимальний план прямої задачі x* змінюється таким чином :

x*=(24+3/5;48-4/5;0;6/5;0;52+4/5)=(123/5;236/5;0;27/5;0;264/5)

f(x*^н )=3* 123/5+2*236/5=369/5+472/5=841/5=168/5=f(x*)+1/5

При збільшенні третього ресурсу на одиницю - змінюється так:

x*”=(24-1/5;48+3/5;0;6+1/5;0;52-3/5)=(119/5;243/5;0;31/5;0;257/5)

f(x*” )=Z”=3*119/5+2*243/5=357/5+486/5=843/5=168*3/5= f(x* )+3/5

3. Аналіз додаткових двоїстих змінних

y₅ та y₆ - додаткові двоїсті змінні - означають на скільки зменшиться цільова функція за одну одиницю часу роботи за відповідною технологією. Тобто, які матимемо збитки при роботі за відповідною технологією. У випадку даної задачі y₅*= y₆* = 0, тобто збитків немає. Це і обумовлює рентабельність застосування обох технологій (x₁*=240, x₂*=480 ).

4. Розрахунок коефіцієнтів взаємозаміни

Коефіцієнт взаємозаміни ресурсом k ресурсу l показує, скільки ресурсу k необхідно для того, щоб замінити одиницю ресурсу l, що вибув за якоїсь причини (для того, щоб набуте значення продуктивності не зменшилось, залишилось би незмінним).

Побудуємо таблицю коефіцієнтів взаємозаміни ресурсів.

Таблиця 4.2 Таблиця коефіцієнтів взаємозаміни: _kl= y_l*/y_k*

12=0	31=1/3	41=
21=	13=3	14=0
32=0	24=	34=0
23=	42=	43=

5. Аналіз доцільності введення нової технології 3:

Для прийняття рішення щодо введення нової технології (3) можна скористатися оцінками ресурсів, що отримано, і розрахувати збитки, які буде мати підприємство при її застосуванні. Обчислюємо значення додаткової змінної, аналогічно тим, що були наявні в задачі:

y_n+1=y₇=1/5*1+0*2+3/5*3+0*4-5= -3, тобто при введенні роботи на протязі однієї одиниці часу за новою технологією цільова функція збільшиться на 3 одиниці, а це вигідно для даного виробництва.

Таким же чином можна робити висновки щодо визначення продуктивності нової технології.