8 Завдання до лабораторних робіт Лабораторна робота № 1 Побудова математичних моделей економічних задач

1. Для виробництва n видів виробів підприємство використовує m груп взаємозамінного устаткування. Виробів і-го виду необхідно виготовити одиниць ( і= 1,...,n), причому j-я група устаткування може бути зайнята виготовленням виробів не більше, ніж годин (j = 1,...,m). Час виготовлення одного виробу і-го виду на j-й групі устаткування дорівнює годинам, а ціна виробництва дорівнює грн. Визначити, скільки виробів даного виду з використанням кожної з груп устаткування варто виготовити, щоб зробити потрібну кількість виробів кожного виду при найменшій загальній вартості виготовлення.

2. З аркушевого прокату потрібно викроїти заготовки чотирьох видів. Один лист довжиною 184 см можна різними способами розрізати на заготовки довжиною 45, 50, 65 і 85 см. Усього заготовок кожного виду необхідно відповідно 90, 96, 88, 56 шт. Способи розрізу одного листа на заготовки і розмір відходів при кожному способі наведені в таблиці.

Довжина заготовки	Кількість заготовок, одержуваних з одного листа при розрізі способом
(см)	1	2	3	4	5	6
45	2	2	1	1	0	0
50	1	0	0	1	0	0
65	0	0	2	0	1	1
85	0	1	0	1	0	1
Відходи (см)	44	9	9	4	19	34

Визначити, яку кількість листів по кожному зі способів варто розрізати, щоб одержати потрібну кількість заготовок кожного виду при мінімальних загальних витратах.

3. Дві торгові бази забезпечують чотири магазини борошном. Транспортні витрати (у грн.), на перевезення 1 кг борошна від кожної бази до кожного магазина зведені в таблицю. Визначити план закріплення магазинів за базами при мінімальних транспортних витратах.

Резерви баз, кг	Потреби магазинів, кг
	900	800	1200	1100
1700	3	4	2	1
2200	7	4	7	4

4. Пароплав може бути використаний для перевезення шести найменувань вантажу, маса, об'єм і ціна одиниці кожного з який наведені в таблиці:

Параметри одиниці вантажу	Номер вантажу
	1	2	3	4	5	6
Маса (т)	60	81	83	86	65	83
Об'єм (м)	80	114	60	106	114	86
Ціна (грн.)	2,8	3,3	3,5	4,7	3,9	4,0

На пароплав може бути завантажено не більш 500 т вантажу загальним об'ємом, що не перевищує 600. Визначити, скільки одиниць кожного вантажу варто помістити на пароплав, щоб сумарна вартість вантажу була максимальною.

5. Необхідно розподілити площу посіву під пшеницю і ячмінь таким чином, щоб одержати максимальну кількість продукції у вартісному вираженні, якщо відома врожайність, ціна, а також витрати ресурсів механізованої і ручної праці на 1 га посіву і наявні ресурси.

Вид ресурсу	Норми витрат на 1 га посіву		Загальна кількість ресурсів
	Пшениця	Ячмінь
Механізована праця, г\га	1,6	1,8	4000
Ручна праця, л\га	2,4	2,0	6000
Врожайність, ц\га	20	25
Вартість 1 ц продукції, грн.	6	4

6. Для обігріву приміщень використовують чотири агрегати, кожний із який може працювати на будь-якому із п'ятьох сортів палива, наявному в кількостях 90, 110, 70, 80 і 150 т. Потреба в паливі кожного з агрегатів відповідно дорівнює 80, 120, 140 і 160 т. Теплотворна здатність і-го сорту палива при використанні його на j-м агрегаті задається матрицею

.

Знайти такий розподіл палива між агрегатами, при якому утворюється максимальна кількість теплоти від використання всього палива.

7. У місті можна споруджувати будинки трьох типів, кожний із який характеризується певною кількістю одно-, двох-, трьох- і чотирикімнатних квартир, а також різною собівартістю. Відповідна інформація наведена в таблиці. Зазначено також необхідна кількість квартир кожного виду.

Однокімнатна Двокімнатна Трикімнатна Чотирикімнатна	10 30 60 20	56 20 34 10	15 60 - 5	2000 900 1800 700
Собівартість одного будинку, тис. грн.	830	835	450

Скласти план будівництва житлових будинків, що забезпечує мінімальну собівартість усієї забудови.

8. Залізничне депо формує склади швидких і пасажирських потягів для забезпечення перевезення на одному з напрямків. Склад швидкого потяга формується з одного багажного вагона, одного поштового, п'ятьох плацкартних, шести купейних і восьми м'яких, а пасажирський склад містить один багажний вагон, вісім плацкартних, чотири купейних і один м'який. Також відомо, що в одному плацкартному вагоні може розміститися 50 пасажирів, у купейному - 40, у м'якому - 32. Для формування складів маємо наступний парк вагонів: 12 багажних, 8 поштових, 81 плацкартних, 70 купейних, 26 м'яких. Знайти план формування складів швидких і пасажирських потягів, при якому забезпечується перевезення максимальної чисельності пасажирів.

9. Раціон формується з кормів двох видів: сіно (К1) і концентрати (К2). При цьому кожна тварина повинна одержати не менше 9 одиниць живильної речовини S1, 8 одиниць речовини S2 і 12 одиниць речовини S3. Кількість одиниць кожної речовини в одному кг кожного виду корму наведені в таблиці. Знайти оптимальний раціон за умови мінімальної вартості кормів.

Живильні речовини	Кількість одиниць живильних речовин в одному кг корму
	К1	К2
S1	3	1
S2	1	2
S3	1	6
Вартість одного кг корму, грн.	4	6

10. Механічний цех при виготовленні трьох різних деталей Д1, Д2, Д3 використовує токарське, фрезерне і стругальне устаткування. При цьому обробку деталей можна вести трьома різними технологіями Т1, Т2 і Т3. У таблиці зазначені норми часу при обробці деталей на відповідному устаткуванні кожним технологічним способом, а також ресурси (станко-година) кожної групи устаткування. Прибуток від продажу одиниці виробу кожного виду складає відповідно 22, 18 і 30 грн. Деталей виду Д2 потрібно робити не більш 43 одиниць. Скласти оптимальний план завантаження виробничий потужностей, що забезпечує максимальний прибуток.

Тип устаткування	Норми часу на обробку деталі									Ресурс часу
	Д1			Д2			Д3
	Т1	Т2	Т3	Т1	Т2	Т3	Т1	Т2	Т3
токарське	1,0	0,9	1,1	1,2	1,5	-	0,9	-	-	200
фрезерне	0,8	0,8	1,3	0,9	1,1	1,3	1,1	0,8	1,2-	400
стругальне	-	0,7	1.0	0,7	-	1,3	1.3	0,6	-	300

11. Щодня на міський ринок необхідно доставити не менше 16 т картоплі з трьох колгоспів за ціною відповідно 100, 90, 110 грн. за 1 т. Для своєчасної доставки картоплі в кожному колгоспі на його навантаження потрібно затратити не більше 30 хв. Відомо, що можливості колгоспів складають 12, 10, 7 т відповідно, а на навантаження 1 т у кожному з них витрачається відповідно 3, 5, 4 хв. Визначити, скільки картоплі варто привозити на ринок із кожного колгоспу, щоб сумарна вартість завезеної картоплі була мінімальною.

12. Харчова фабрика може випускати фруктовий сік із розливом у скляну, бляшану і поліетиленову тару. Лінія з випуску соку в скляній тарі може випустити не більш 10 т соку, а в бляшаній - не більш 8 т, у поліетиленовій - не більш 5 т. Визначити програму випуску соку в різній тарі, що забезпечувала б фабриці максимальний прибуток, якщо відомо, що собівартість виробництва 1 т соку в скляній тарі дорівнює 160 грн., у бляшаній - 100 грн., у поліетиленовій - 160 грн., відпускна ціна не залежить від тари і дорівнює 400 грн. за 1 т.

13. Підприємство може працювати трьома технологічними способами. Витрати ресурсів на одиницю часу при відповідній технології і продуктивність кожної технології в грн. за одиницю часу показані в таблиці:

Ресурси	Технологічні способи			Об'єм ресурсів
	Т-1	Т-2	Т-3
Робоча сила, люд/год..	15	20	25	1200
Сировина, т.	2	3	2,5	150
Електроенергія, квт/год.	35	60	60	3000
Продуктивність технологічного способу, грн.\люд.	300	250	450

Знайти план виробництва, за яким оптимально використовуються технологічні способи.

14 Підприємство може виробити чотири види продукції П-1, П-2, П-3, П-4. Збут продукції не обмежений. Підприємство володіє протягом кварталу трудовими ресурсами в 100 люд./змін, напівфабрикатами масою 260 кг, верстатним устаткуванням у 70 верстато-змін. Норми використання і прибуток від одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці. Знайти план випуску продукції, що максимізує прибуток.

Ресурси	Продукція				Об'єм ресурсу
	П-1	П-2	П-3	П-4
Трудові ресурси, люд/змін	2,5	2,5	2	1,5	100
Напівфабрикати, кг	4	10	4	6	260
Верстатне устаткування, верстато-змін	8	7	4	10	370
Прибуток від одиниці продукції, грн.	40	50	100	80

15. Необхідно оптимально розподілити п'ять екскаваторів для виконання робіт на кожному з п'ятьох будівельних об'єктів. Собівартість виконання робіт зазначена в таблиці.

Екскаватор	Номер будівельного об'єкта
	1	2	3	4	5
1	5	7	6	10	4
2	1	2	8	8	2
3	3	2	10	2	8
4	9	7	9	6	7
5	7	6	7	7	10

16. М'ясокомбінат має у своєму складі чотири заводи, на кожному з який може виготовлятися три види ковбасних виробів, Потужності кожного з заводів відповідно рівні 320, 280, 270 і 350 т\добу. Щоденні потреби в ковбасних виробах кожного виду також відомі і відповідно рівні 450, 370 і 400 т. Знаючи собівартість 1 т кожного виду ковбасних виробів на кожному заводі, що задаються матрицею С, знайти такий розподіл випуску ковбасних виробів між заводами, при якому собівартість виготовленої продукції є мінімальною.

З=

17. З аркушевого прокату потрібно викроїти заготовки чотирьох видів. Один лист довжиною 184 см можна розрізати на заготовки довжиною 45, 50, 65 і 85 см. Усього заготовок кожного виду необхідно відповідно 90, 96, 88 і 56 шт. Існує п'ять варіантів розрізу одного листа на заготовки, також відомі відходи при кожному способі. Потрібно визначити, яку кількість листів кожним способом варто розрізати, щоб одержати потрібну кількість заготовок кожного виду при мінімальних загальних відходах.

Довжина заготівлі (см)	Кількість заготовок, одержуваних з одного листа при розрізі кожним способом
	1	2	3	4	5
45	4	2	1	1	-
50	-	-	2	1	-
65	-	1	-	1	1
85	-	-	-	-	1
Розмір відходів (см)	4	29	39	24	34

18. Сталеві лозини довжиною 110 см необхідно розрізати на заготовки довжиною 45, 35, 50 см. Необхідна кількість заготовок даного виду складає відповідно 40, 30 і 20 шт. Можливі варіанти розрізу і розмір відходів при кожному з них приведені в таблиці. Визначити скільки лозин по кожному з можливих варіантів варто розрізати, щоб одержати не менше потрібної кількості заготовок кожного виду при мінімальних відходах.

Довжина заготовки (см)	Варіант розрізу
	1	2	3	4	5	6
45	2	1	1	-	-	-
35	-	1	-	3	1	-
50	-	-	1	-	1	2
Розмір відходів (см)	20	30	15	5	25	10

19. Магазин оптової торгівлі реалізує три види продукції П1, П2 і П3. Для цього використовується два обмежених ресурси - корисна площа приміщень, що з обліком коефіцієнта оборотності складає 450 кв. м, і робочий час працівників магазина - 600 люд/год. Товарообіг повинний бути не менше 240 тис. грн. Необхідно розробити план товарообігу, що дає максимум прибутку. Витрати ресурсів на реалізацію й отриманий при цьому прибуток подані в таблиці.

Вид ресурсу	Витрати ресурсів на реалізацію, тис. грн.			Об'єм ресурсу
	1-го виду	2-го виду	3-го виду
Корисна площа, м2	1,5	2	3	450
Робочий час, люд./год.	3	2	1,5	600
Прибуток, тис. грн.	50	65	70

20. На меблевій фабриці використовуються дві технології. Витрати ресурсів за одиницю часу при кожній технології і продуктивність використання технологічного способу в грн. за одиницю часу показані в таблиці. Знайти план випуску продукції, що забезпечує максимальну продуктивність.

Ресурси	Технологічні способи		Об'єм ресурсу
	Т-1	Т-2
Деревина I виду (м3)	12	4	300
Деревина II виду (м3)	4	4	120
Трудомісткість (люд./год.)	3	12	352
Продуктивність технологічного способу за 1 година (грн.)	30	40

21. У сплав може входити не менше 4 % нікелю і не більш 80 % заліза. Сплав робитися з трьох видів сировини. Вартість різних видів сировини і відсотковий вміст у них різних компонентів наведені в таблиці. Знайти мінімальний за вартістю склад сировини.

Компоненти сплаву	Відсотковий уміст компонентів за видами сировини, %
	I	II	III
Залізо	70	90	85
Нікель	5	2	7
Інші	25	8	8
Вартість, коп./кг	60	40	50

22. Кондитерська фабрика для виробництва трьох видів карамелі А, В, С використовує три види основної сировини: цукор, патоку і фруктове пюре. Норми витрат сировини кожного виду на виробництво 1 т карамелі кожного виду наведені в таблиці. Знайти план виробництва карамелі, що забезпечує максимальний прибуток від її реалізації.

Вид сировини	Норми витрат сировини (т) на одну т карамелі			Загальна кількість сировини (т)
	А	В	С
Цукор	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктове пюре	-	0,1	0,1	120
Прибуток від реалізації 1 т продукції, грн.	108	112	126

23. Економічно вигідна відгодівля тварин передбачає, що в їхньому щоденному раціоні буде кормових одиниць не менше 100, білка - не менше 2 кг, кальцію – не менше 300 р і фосфору – не менше 150 р. Раціон складається з трьох видів корму, позначених А, В, С. У таблиці наведені дані про концентрацію необхідних речовин у кормах, а також ціна 1 кг корму. Яку кількість кожного виду корму необхідно використовувати, щоб загальні витрати були мінімальними?

Вид корму	Кількість кормових одиниць у 1 кг корму	Концентрація живильних речовин, р/кг			Ціна 1 кг корму, коп./кг
		Білок	Кальцій	Фосфор
А	0,9	80	1,4	3	50
В	0,8	70	1,8	4	70
С	0,6	90	1,2	6	40

24. Виробничі потужності кожного з п'ятьох заводів об'єднання дозволяють у встановлені терміни виконувати тільки один із п'ятьох замовлень, наявних у портфелі замовлення об'єднання. Дані про витрати на виконання замовлень (у тис. грн.) наведені в таблиці. Необхідно розподілити замовлення так, щоб витрати об'єднання були мінімальними.

Номер замовлення	Номер заводу
	1	2	3	4	5
1	15	17	16	20	14
2	11	12	18	8	12
3	13	12	20	12	18
4	19	17	19	16	17
5	17	16	17	17	20

25. Необхідно оптимально розподілити загальну площу посіву під різні культури, якщо відомі загальні об'єми продуктивних ресурсів, норми їхніх витрат на 1 га, а також врожайність кожної культури і її ціни.

Вид ресурсу	Норми витрат ресурсів на 1 га посіву культури			Ресурс. об'єм по праці, ч.
	Пшениця	Овес	Картопля
Механізована праця, люд./га	1,5	1,4	5	8000
Ручна праця люд./га	2,5	2,2	18	9000
Ціна продукції, грн./ц	10	8	6
Врожайність, ц/га	20	22	110

26. Двом навантажувачам різної потужності за 24 години потрібно завантажити на першій площадці 230 т, на другий 168 т. Перший навантажувач на першій площадці може завантажити 10 т у годину, на другий - 12 т. Другий - на кожній площадці може завантажити по 13 т у годину. Вартість робіт, пов'язаних із навантаженням 1 т, першим навантажувачем на першій площадці 8 грн., на другій 7 грн., другим навантажувачем на першій площадці 12 грн., на другий 13 грн. Потрібно скласти план роботи, тобто знайти, який об'єм робіт повинен виконати кожний навантажувач на кожній площадці, щоб вартість усіх робіт із навантаження була мінімальною. Причому з технічних причин перший навантажувач на другій площадці повинний працювати не більш 16 годин.

27. Крамниця реалізує товари двох видів. Дані про норми затрат ресурсів, їхні запаси і прибуток від реалізації одиниці товару наведені в таблиці. Знайти структуру товарообігу, виходячи з умови максимізації прибутку.

Вид ресурсу	Витрати ресурсів на одиницю товару		Об'єм ресурсів
	1-го виду	2-го виду
Матеріальні ресурси, грн.	4	3	24000
Трудові ресурси, люд./год.	7	8	56000
Прибуток від реалізації одиниці товарна, грн.	0,5	0,6

28. Виробництво продукції двох видів (П-1 та П-2) передбачає використання трьох видів сировини (S1, S2, S3). Запаси сировини кожного виду та кількість одиниць сировини, необхідної для виготовлення одиниці кожного виду продукції наведено в таблиці. Знайти план випуску продукції, який забезпечує максимальний прибуток.

Вид сировини	Запаси сировини	Види продукції
		П-1	П-2
S1	160	5	2
S2	180	3	4
S3	196	7	0
Прибуток від одиниці продукції		3	2

29. Кондитерська фабрика для виробництва трьох видів карамелі А, В, С використовує три види основної сировини: цукор, патоку і фруктове пюре. Норми витрат сировини кожного виду на виробництво 1 т карамелі кожного виду наведені в таблиці. Знайти план виробництва карамелі, що забезпечує максимальний прибуток від її реалізації.

Вид сировини	Норми витрат сировини (т) на одну т карамелі			Загальна кількість сировини (т)
	А	В	С
Цукор	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктове пюре	-	0,1	0,1	120
Прибуток від реалізації 1 т продукції, грн.	108	112	126

30. Економічно вигідна відгодівля тварин передбачає, що в їхньому щоденному раціоні буде кормових одиниць не менше 100, білка - не менше 2 кг, кальцію – не менше 300 р і фосфору – не менше 150 р. Раціон складається з трьох видів корму, позначених А, В, С. У таблиці приведені дані про концентрацію необхідних речовин у кормах, а також ціна 1 кг корму. Яка кількість кожного виду корму необхідно використовувати, щоб загальні витрати були мінімальними?

Вид корму	Кількість кормових одиниць у 1 кг корму	Концентрація живильних речовин, р/кг			Ціна 1 кг корму, коп./кг
		Білок	Кальцій	Фосфор
А	0,9	80	1,4	3	50
В	0,8	70	1,8	4	70
С	0,6	90	1,2	6	40