24Участки земной поверхности, которые можно заменить плоскостью без введения поправки за искажение

Если бы все измерения на местности и графические построения на картах выполнялись абсолютно точно, то, безусловно, никакие участки поверхности Земли нельзя было бы принимать за плоскость, и, следовательно, для решения гидрографических задач нельзя было бы употреблять формулы аналитической геометрии на плоскости.

Рис.8

Между тем как сами измерения, так и графические построения всегда сопряжены с рядом погрешностей. Если мы заменим, например, решение задачи на сфере реше­нием на плоскости и допустим при этом ошибку, меньшую, чем погрешность измере­ний, то этим самым будет доказана возмож­ность замены сферы плоскостью на участке наших работ.

Пусть Земля — шар с центром в точке О (рис. 8). На дуге ММ этой сферы нами из­мерено расстояние AB = S. Если вместо сферической поверхности взять горизонталь­ную (в точке А) плоскость, то проекцией точки В на эту плоскость будет точка С. Разница между расстояниями АС — АВ = ΔS и будет искомой погрешностью. Из рассмотрения рис. 8 следует, что

(10.1)

Так как расстояние S практически невелико по сравнению с R и, значит, угол θ мал, разложим tgθ в ряд:

(10.2)

Ограничимся вторыми членами разложения, тогда

(10.3)

но

отсюда

(10.4)

Решим равенство (10. 4) относительно S, понимая под ΔS макси­мальную ошибку, которую мы еще вправе допустить

(10.5)

Формула (10.5) позволяет рассчитать предельные расстояния, при которых земную поверхность можно полагать плоской, не допуская при этом ошибок, больших ΔS.

Графические построения осуществляются обычно на картах или планшетах, составленных в какой-либо проекции. Поэтому будем отыскивать предельные расстояния, допускающие решение на плос­кости, учитывая свойства проекции. Это значит, что земную поверхность можно считать плоской лишь до тех пор, пока искажения, вносимые способом проектирования, не превышают точности графических построении на карте данного масштаба.

Так, известно, что поправки расстояний за переход со сферы на плоскость в проекции Гаусса выражаются формулой

(10.6)

При точных решениях стремятся, чтобы эта погрешность не превы­шала ошибки графических построений. Решим формулу (10.6) относи­тельно S

(10.7)

Если под ΔS в данном выражении понимать допустимую погреш­ность, то расстояние S окажется тем предельным расстоянием, при котором решение задачи на плоскости не приведет к ошибкам, большим заданной. Полагая, как и ранее, R = 6370 км, а км, получим

(10.8)

км

где С₀ — знаменатель масштаба карты;

y —ордината средней точки на данном расстоянии.

34