66. Формула Лапласа

При рассмотрении явлений поверхностного натяжения условия теплового и материального равновесия системы остаются прежними:

T₁ = T₂ = T,   μ₁ = μ₂. (66.1)

Что касается условия механического равновесия, оно изменится. При равновесии свободная энергия системы имеет минимум. Поэтому дифференциал свободной энергии равен нулю: dF = 0. С учетом условий (66.1) при T = const это дает

dF = – p₁dV₁ – p₂dV₂ + σdΣ = 0.

Объем всей системы постоянный: V₁ + V₂ = const, откуда dV₁ = – dV₂, так что

p₁ = p₂ + σ dΣ / dV₁.

Из дифференциальной геометрии известно, что величина dΣ / dV₁ дает кривизну поверхности, ограничивающей объем V₁, и что

dΣ / dV₁ = 1 / r₁ + 1 / r₂,

где r₁ и r₂ – главные радиусы кривизны поверхности (они положительны для выпуклой поверхности и отрицательны для вогнутой). Поэтому

∆p = p₁ – p₂ = σ (1 / r₁ + 1 / r₂). (66.2)

Это формула Лапласа. В случае сферической поверхности r₁ = r₂ = r и формула (66.2) принимает вид

∆p = 2 σ / r.

Если поверхность раздела плоская, r₁ = r₂ = ∞, и условие механического равновесия сводится к равенству давлений.

67. Элементарный вывод формулы Лапласа

Формулу Лапласа можно получить достаточно просто, если рассмотреть механическое равновесие элемента поверхности раздела. На этой поверхности около произвольной точки O (рис. 29) выделяется малый криволинейный четырехугольник. Пусть ON – внешняя по отношению к первой фазе нормаль к поверхности. Через нее проводятся две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекаются с поверхностью раздела по некоторым кривым с радиусами кривизны r₁ и  r₂ . Малые дуги A₁B₁ и A₂B₂ – отрезки этих кривых. Элементарная площадка получается, если через концы дуг провести на поверхности кривые, параллельные плоскостям. На рис. 29 это четырехугольник CDEF. С точностью до малых второго порядка CD = FE =  A₁B₁ = ∆l₁ и CF = DE =  A₂B₂ = ∆l₂. Площадь четырехугольника равна ∆Σ = ∆l₁ ∆l₂. Сила поверхностного натяжения, приложенная к краю CF, в соответствии с формулой (65.2) равна ∆f₁ = σ∆l₂. Ее проекция на OO₁ будет

Рис. 29

∆f₁ sin φ₁  ∆f₁ φ₁ = ∆f₁ ∆l₁ / (2r₁) = 

= σ / (2r₁)  ∆Σ.

Такое же значение имеет проекция силы натяжения, действующей по краю DE. Поэтому результат удвоится (ради простоты считается, что дуги A₁B₁ и A₂B₂ делятся точкой O пополам). Аналогичным образом находится проекция сил поверхностного натяжения, приложенных по CD и FE. В результате сила давления, действующая на первую фазу со стороны элемента изогнутой поверхности, равна σ (1/r₁ + 1/r₂)  ∆Σ и для давления получается формула Лапласа.

68. Механическое равновесие трех сред

Следует остановиться еще на условии механического равновесия при одновременном соприкосновении трех сред (три жидкие среды или две жидкие и одна газообразная). Оно происходит по некоторой линии; на рис. 30 след этой линии – точка O. Сплошные линии, выходящие из точки, – следы поверхностей раздела сред. Штриховые линии выделяют переходные слои толщиной порядка радиуса молекулярного действия. Около линии соприкосновения трех сред мысленно вырезается цилиндрическая трубка, диаметр которой определяется переходными слоями. Рассматривается механическое равновесие этой трубки (расчет делается на единицу ее длины). Оценки показывают, что силой тяжести и результирующей сил гидростатического давления можно пренебречь по сравнению с силами поверхностного натяжения (если ρ ~ 1 г / см³ и r ~ 10^–6 см, то ρgπr² ~ 310^–9 дин / см, тогда как σ порядка нескольких десятков дин на сантиметр). Поэтому условие равновесия цилиндра имеет вид

= 0, (68.1)

	Рис. 31
Рис. 30

где вектор направлен по касательной к линии раздела i-й и j-й сред,   = σ_ij. Если из отрезков с длинами σ₁₂, σ₂₃ и σ₃₁ можно составить треугольник, то равновесие трех одновременно соприкасающихся сред возможно. Условие (68.1) позволяет рассчитать в точке O углы наклона линий соприкосновения сред относительно друг друга.

Особый интерес представляет случай, когда соприкасаются жидкость, твердое тело и газ. Равнодействующая сил поверхностного натяжения уравновешивается силой нормального давления со стороны твердого тела. Угол между поверхностью твердого тела и плоскостью, касательной к поверхности жидкости, называется краевым углом (на рис. 31 угол θ). Считается, что поверхность твердого тела не деформируется. Из условия равновесия

cos θ = (σ₃₁ – σ₂₃) / σ₁₂. (68.2)

Когда σ₃₁ – σ₂₃ > σ₁₂, условие (68.2) не может быть удовлетворено и жидкость растекается по поверхности (керосин или бензин на поверхности жести, стекла). В этом случае говорят, что жидкость полностью смачивает поверхность твердого тела.

При σ₂₃ – σ₃₁ > σ₁₂ также не существует угла θ, удовлетворяющего условию (68.2). Капля жидкости на поверхности твердого тела стягивается в шарик (ртуть на стекле, вода на парафине). В этом случае говорят, что жидкость совершенно не смачивает твердое тело. Чаще наблюдается частичное смачивание твердого тела (θ < π/2) или частичное несмачивание (θ > π/2).