47. Равновесное излучение

Замкнутая полость, стенки которой излучают и поглощают, заполняется электромагнитным излучением. Если температура стенок поддерживается постоянной, то это излучение оказывается в равновесии со стенками и имеет их температуру.

Электромагнитное излучение, находящееся в некоторой области пространства в равновесии с окружающими телами, называется тепловым, или равновесным.

Известно, что малое отверстие в стенке полости с хорошей точностью представляет абсолютно черное тело. Излучение, падающее на это отверстие извне, в результате многократного отражения от внутренней поверхности полости практически полностью поглощается. Коэффициент поглощения такого отверстия можно считать равным единице. Поэтому равновесное излучение в полости называют также абсолютно черным излучением.

Мысль о температуре равновесного излучения была впервые высказана русским физиком Б. Б. Голицыным в 1893 г. Это позволило в полной мере применить аппарат термодинамики для изучения равновесного излучения.

Излучение характеризуется спектральной частотой ν. Если u_ν – спектральная плотность излучения (энергия излучения единицы объема в единичном интервале частот), то полная (интегральная) плотность излучения равна

u = . (47.1)

Как было установлено (к этому прямое отношение имел Кирхгоф), спектральная плотность излучения не зависит от материала стенок и их размеров, она является универсальной функцией частоты и температуры. Вид этой функции был найден Планком.

Однако здесь важно лишь то, что полная плотность излучения (47.1) является функцией только температуры: u = u(T). Соответственно полная энергия излучения в полости равна

U = u(T)  V. (47.2)

Из электродинамики известно термическое уравнение состояния фотонного газа (так иногда называют равновесное излучение):

pV = U / 3.

Исключение U приводит уравнение состояния к виду

p = u(T)  / 3. (47.3)

Этой информации достаточно, чтобы найти вид функции u(T) и полностью рассмотреть термодинамику равновесного излучения.

Для нахождения функции u(T) используется соотношение (26.1):

(U / V)_T = T(p / T)_V – p.

Подстановка в него давления и внутренней энергии фотонного газа приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно u:

u = T(du / dT)  / 3 – u / 3,  или du / u = 4dT / T.

После интегрирования

u = σT ⁴, (47.4)

где σ – некоторая постоянная (называется постоянной Стефана–Больцмана).

Энергия фотонного газа в объеме V равна

U = σT ⁴V.

Из основного уравнения термодинамики

dS = dU / T + p / T  dV = (4σT ³V dT + σT ⁴dV) / T + σT ³ / 3 · dV =

= 4σT ²V dT + 4σ / 3 · T ³dV = 4σ / 3(3T ²VdT + T ³dV) = 4σ / 3 · d(T ³V),

так что для энтропии фотонного газа получается выражение

S = 4σ / 3  T ³V.

Постоянная интегрирования равна нулю (при V = 0 нет смысла говорить о фотонном газе). Потенциал Гиббса

G = U – TS + pV = σT ⁴V – 4σ/3·T ⁴V + σT ⁴ / 3 · V = 0.

Равенство нулю потенциала Гиббса связано с тем, что давление и температура в случае фотонного газа не могут быть одновременно независимыми переменными (в силу уравнения состояния (47.3)).

Теплоемкость c_V = (U / T)_V = 4σT ³V, а теплоемкость c_p = ∞, так как при изобарическом изменении объема температура фотонного газа остается постоянной (соотношение Майера не применимо в данном случае).