IV. Теория термодинамических потенциалов

34. Якобианы. Свойства

Пусть в области Ω на плоскости x, y задана функция f(x, y) и требуется вычислить интеграл

I =  .

В частном случае, когда подынтегральная функция равна единице, этот интеграл дает площадь области Ω.

При вычислении интеграла иногда лучше перейти к другим независимым переменным. Пусть это будут ξ и η. Старые и новые независимые переменные связаны некоторыми функциональными уравнениями

x = x(ξ, η ), y = y(ξ, η ). (34.1)

При этом область Ω на плоскости x, y преобразуется в область ω на плоскости ξ, η. При переходе к новым переменным интеграл примет вид

I = .

Здесь D – функциональный определитель (якобиан) для двух переменных:

D = (x, y) / (ξ, η) =    =

(34.2)

= (x / ξ)(y / η) – (x / η)(y / ξ).

Геометрический смысл его заключается в том, что абсолютная величина D дает коэффициент изменения элементарной площади при переходе от (x, y)- к (ξ, η)-плоскости.

Поведение якобиана преобразования (x, y)  (ξ, η) имеет непосредственное отношение к вопросу об однозначности соответствия между точками (x, y)- и (ξ, η)-плоскостей. Пусть достаточно малой окрестности точки (ξ, η) согласно уравнениям (34.1) отвечает множество точек (x, y). Доказывается теорема.

Если функции (34.1) непрерывно дифференцируемы в некоторой области значений переменных ξ, η и если якобиан (34.2) отличен в ней от нуля, то в достаточно малой окрестности произвольной точки (ξ, η) этой области уравнения (34.1) определяют взаимно однозначное соответствие этой окрестности точки (ξ, η) и отвечающего ей множества точек (x, y).

Другими словами, каждой точке первой области соответствует одна и только одна точка второй области, и наоборот. Теорема является простым следствием известной теоремы Крамера из алгебры линейных уравнений. Между дифференциалами величин x, y, ξ, η имеются линейные связи

dx = (x / ξ)dξ + (x / η)dη,

dy = (y / ξ)dξ + (y / η)dη.

Для того чтобы эта система уравнений была разрешима относительно dξ и dη, и чтобы решение ее было единственным, определитель из коэффициентов (как раз якобиан D) должен быть отличен от нуля. В противном случае решение или отсутствует, или неоднозначно. Якобиан (34.2) тождественно равен нулю, если функции (34.1) не являются независимыми, т. е. между ними существует функциональная связь. Указанная теорема имеет особое значение в термодинамике в связи с широким использованием геометрических образов на (p, V) –, (T, S) – и других диаграммах.

В дальнейшем будут использоваться следующие свойства якобианов:

1. При перестановке функций или независимых переменных изменяется знак якобиана:

(x, y)  / (ξ, η) = – (y, x)  / (ξ, η) = (y, x)  / (η, ξ).

2. Теорема умножения якобианов.

(x, y)  / (u, v) = (x, y)  / (ξ, η)  (ξ, η)  / (u, v).

Она следует из известных формул дифференциального исчисления вида

(x / u)_v =  (x / ξ)_η  (ξ / u)_v + (x / η)_ξ   (η / u)_v.

Это формулы дифференцирования сложных функций, когда x и y зависят от u и v не прямо, а через посредство функций ξ(u, v) и η(u, v).

Действительно, пусть

x = x(ξ(u, v), η(u, v)),  y = y(ξ(u, v), η(u, v)).

Тогда

(x, y)  / (u, v) = (x / u)_v (y / v)_u –  (x / v)_u (y / u)_v =

= x / ξ  y / ξ  (ξ / u  ξ / v – ξ / v  ξ / u) +

+ x / ξ  y / η  (ξ / u  η / v – ξ / v  η / u) +

+ x/η  y/ξ  ( η/u  ξ/v – η/v  ξ/u) +

+ x / η  y / η  (η / u  η / v – η / v  η / u) =

= (x / ξ  y / η – x / η  y / ξ)  (ξ / u  η / v – ξ / v  η / u) =

= (x, y)  / (ξ, η)  (ξ, η)  / (u, v).

Свойство доказано.

3. Если использовать предыдущее свойство и положить u = x и v = y, то получается выражение для обратного якобиана:

(ξ, η)  / (x, y) = ((x, y)  / (ξ, η))^–1.

4. Частную производную можно записать в виде якобиана. Пусть y ≡ η. Тогда (y / ξ)_η  = 0 и (y / η)_ξ  = 1. Поэтому

(x, η)  / (ξ, η) =   =  .

Итак,

 = (x, η)  / (ξ, η) = (η, x)  / (η, ξ).