2.3. Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

ПРИМЕР 4: Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события: – появления герба на первой монете; – появление герба на второй монете.

РЕШЕНИЕ: Очевидно, событие не зависит от того, произошло событие или нет. Событие независимо от события .

ПРИМЕР 5: В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события:

– появление белого шара у первого человека,

– появление белого шара у второго человека.

РЕШЕНИЕ: Вероятность события равна 2/3. Если стало известно, что событие произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие зависит от события .

Вероятность события _, вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается: .

Для ПРИМЕРА 5:

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

(2.10)

верно, то события и называются независимыми.

Если верно выражение

(2.11)

то события и называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая "урновая схема". В урне (закрытой емкости) находится белых и черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны. Если реализуется схема без возвращения, то события – зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события – независимые.

2.4. Теорема умножения вероятностей

Теорема Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

(2.12)

Доказательство Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет условная вероятность события относительно события равна

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, то есть исходов. Поэтому вероятность произведения событий и равна . Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим

.

Аналогично можно показать, что

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство Согласно условию, событие не зависит от события , тогда с учетом (2.10) получим . Подставим это уравнение в формулу (2.12):

Разделивм левую и правую часть уравнения на , получим

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

ПРИМЕР 6: Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно равны: р₁ = 0.8, р₂ = 0.9, р₃ = 0.7. Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время t?

РЕШЕНИЕ: Обозначим события:

безотказная работа прибора;

безотказная работа первого узла;

безотказная работа второго узла;

безотказная работа третьего узла.

Безотказная работа прибора обеспечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов: .

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

ПРИМЕР 7: Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул "неудачный" билет?

РЕШЕНИЕ: Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие "в первый раз вынут "неудачный" билет", во второй раз вынут "удачный" билет". Очевидно, что события и зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события По формуле умножения вероятностей:

тогда