1.5. Аксиоматическое построение теории вероятностей
Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.
Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.
При
аксиоматическом построении теории
вероятностей первичным понятием является
не элементарное случайное событие, а
просто элементарное событие любой
природы. Множество таких событий образует
поле элементарных событий
Из подмножества данного множества
составляются некоторые ансамбли, которые
и носят название случайного события.
Множество таких событий образует поле
событий
.
На этом поле случайных событий вводится
числовая функция, называемая вероятностью
и определяемая следующими аксиомами.
Аксиома
1. Каждому
случайному событию
из поля событий
поставлено в
соответствие неотрицательное число
называемое вероятностью, такое, что
Аксиома
2. Вероятность
достоверного события
равна единице:
Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Примечания:
Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть
– пустое множество событий, иначе
говоря,
означает отсутствие событий. Тогда
(
)
=
,
и
не имеет общих элементов с
.
Следовательно:
(1.14)
Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.
1.6. Геометрическое определение вероятности
Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области:
(1.15)
Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.
ПРИМЕР
15: Предположим, что на отрезок длиной
L
действительной прямой наугад бросается
точка, которую обозначим
.
Какова вероятность того, что она
отклонится не дальше, чем на расстояние
l,
от середины указанного отрезка (см.
рис.)?
РЕШЕНИЕ: Здесь
имеется бесконечное множество возможных
исходов: ведь точка
может попасть в любую точку рассматриваемого
отрезка длиной L.
Кроме того, условия опыта таковы, что
с одинаковой вероятностью может оказаться
в любой точке х
этого отрезка, расположенного на оси
абсцисс. Событие А
– точка
находится от середины отрезка на
расстоянии не больше l,
наступает в результате попадания в
любую точку х,
отстающую от середины не далее, чем на
величину l.
"Доля" таких точек х
на всем отрезке может быть определена
как отношение L(A)
/L,
где L
– длина всего рассматриваемого отрезка.
– длина отрезка, попадание в который
влечет за собой наступление события А.
Таким образом, искомая вероятность
равна:
ПРИМЕР 16: Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
РЕШЕНИЕ: Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис.). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой у = -х (см. рис.).
Т
аким
образом, интересующая нас вероятность
равна отношению площади фигуры
(заштрихована) к площади квадрата:
.
ПРИМЕР 17: Из промежутка [0;2] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:
. (I)
РЕШЕНИЕ: Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0;2] пары чисел x и у. Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки М(х, y) из множества всех точек квадрата со стороной равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим эквивалентной системой:
Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:
