1.3. Статистическое определение вероятности

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один.

Если событие может привести к n различным равновозможным исходам и если в m случаях появится признак , то относительная частота (частость) события обозначается и равна отношению к ,

. (1.10)

Это так называемое статистическое (комбинаторное) определение вероятности. Событие , для которого относительная частота при достаточно больших мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события А называется число , около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

. (1.11)

Вероятности обладают свойствами, аналогичные свойствам частости:

1. Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:

.

3. Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

ПРИМЕР 10: При подбрасывании идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Экспериментатор	n	m(А)	rn(А)
Ж.Л.Л. Бюффон	4040	2048	0,5069
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

ПРИМЕР 11: Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

РЕШЕНИЕ: Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная частота) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что . Отсюда . В нашем случае , тогда .

1.4 Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть, предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной _. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте:

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал “герб”, выпала “цифра”.

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, “бросание” шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, все эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события может быть вычислена по следующей формуле:

, (1.12)

где – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов, число тех из них, которые приводят к наступлению события .

ПРИМЕР 12: Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и "прикупом", куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

РЕШЕНИЕ: Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле: . В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2: . Окончательно получим

ПРИМЕР 13: Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая "даму". При объявлении ранга игры "играющему" приходится учитывать возможность образования у одного из "вистующих" – противников комбинации из трех оставшихся "червей". Какова вероятность этого события?

РЕШЕНИЕ: У двух "вистующих" 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна . Если комбинацию "третья дама" зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7: . Таким образом

.

Вероятность появления третьей дамы у любого из "вистующих", очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 14: В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

РЕШЕНИЕ: Введем следующие обозначения: общее число машинок, число бездефектных машинок, число отобранных в партию (подмножество) машинок, число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по машинок равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) . Согласно (1.12), окончательно получим:

(1.13)

Подставим в формулу (1.13) численные значения и окончательно получим:

Замечание: Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.