Свойства корреляционной (автоковариационной) функции сп

1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии СП:

(11.12)

2. Корреляционная функция не меняется при перестановке аргументов местами:

(11.13)

3. Если к СП прибавить неслучайную функцию, то корреляционная функция не изменится, то есть, если , то:

(11.14)

4. При умножении СП на неслучайный множитель его корреляционная функция умножается на произведение , то есть, если , то:

(11.15)

Наряду с корреляционной функцией СП вводится также нормированная корреляционная (автоковариационная) функция , определяемая равенством

(11.16)

По смыслу аналогична коэффициенту корреляции СВ, но не является константой и зависит от аргументов и .

Свойства нормированной корреляционной функции сп

Свойства нормированной корреляционной функции аналогичны свойствам коэффициента корреляции:

1. 

2. 

3. 

ПРИМЕР 3: Используя условие ПРИМЕРА 1, найдем корреляционную и нормированную корреляционную функции СП .

РЕШЕНИЕ: Согласно (11.11) вычислим:

Теперь, согласно (11.16), получим:

11.2. Стационарные случайные процессы

Важным классом СП являются стационарные случайные процессы, которые не изменяют свои характеристики с течением времени. Такие процессы имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг неслучайного значения, например: флуктуация напряжения в электрической сети, давление газа в трубопроводе, температура в тепловом (ядерном) реакторе.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов,

(11.17)

_{Из этого определения следует, что} корреляционная функция стационарного процесса есть функция одного аргумента: где

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если все его характеристики зависят не от значений аргументов, а лишь от их взаимного расположения. Так для функций распределения сечений процесса должно выполняться равенство:

(11.18)

при любых .

Большинство стационарных СП обладают важным для практики эргодическим свойством.

Эргодическое свойство стационарной случайной функции заключается в том, что любая ее реализация обладает одними и теми же свойствами и на достаточно большом интервале аргумента ведет себя в среднем так же, как и все другие реализации. Рис. 11.2 иллюстрирует связь между классами СП.

Рис. 11.2. Соотношение классов случайных процессов

11.3. Марковские случайные процессы

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для любого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, как и каким образом система пришла в это состояние.

Пусть имеется некоторая физическая система , в которой протекают СП. Под влиянием случайных факторов с течением времени система может переходить из одного состояния в другое.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если множество его возможных состояний конечно или счетно, а переход из одного состояния в другое осуществляется скачком, причем переходы возможны только в определенные моменты времени .

Рассмотрим марковский случайный процесс описывающий систему с дискретными состояниями и дискретным временем функционирования. Процесс, происходящий в такой системе, можно представить в виде цепочки случайных событий Такая случайная последовательность называется дискретной марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния в любое состояние не зависит от того, как система пришла в состояние

Марковский процесс служит моделью для многих процессов в биологии (распространение эпидемии, рост популяции), в физике (радиоактивный распад), в теории массового обслуживания.

Рассмотрим свойства марковских случайных процессов на примере известной игры «Тише едешь – дальше будешь».

Вспомним правила игры:

1. В этой игре фишка играющего должна пройти некоторое конечное число пунктов .

2. Переход из одного пункта в другой каждый раз определяется исходом бросания игральной кости.

Таким образом, если на данном шаге фишка находится в пункте , то правилами игры устанавливается пункт перехода ее на следующем шаге, в зависимости от числа очков, выпавших на игральной кости. Отметим очевидное свойство марковских случайных процессов.

Из любого пункта фишка с некоторой вероятностью переходит в один из пунктов , независимо от характера ее движения до попадания в пункт i. Это свойство цепей Маркова часто называют системами без последствия, или системами с отсутствием памяти.

Пусть имеется система, которая может находиться в одном из фазовых состояний . Состояние системы меняется в зависимости от некоторого параметра , причем переход из состояния в состояние зависит от случайного фактора. Будем условно называть параметр временем и считать, что пробегает либо целые, либо действительные числа.

Пусть – состояние системы в момент времени t, и пусть соблюдается закономерность: если в данный момент времени система находится в фазовом состоянии , то в последующий момент времени будет находиться в состоянии с некоторой вероятностью независимо от поведения системы до указанного момента .

Вероятности

(11.19)

называются переходными вероятностями марковской цепи .

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности зависят лишь от разности :

.

Полным описанием однородной марковской цепи может служить квадратная матрица переходных вероятностей

. (11.20)

Очевидно, что для каждого состояния (номера шага) возможные переходы образуют полную группу событий, то есть . Переходные вероятности, соответствующие невозможным переходам, равны нулю. Вероятности, расположенные по главной диагонали матрицы, соответствуют тому факту, что состояние системы не изменилось.

Дискретная марковская цепь называется неоднородной, если переходные вероятности меняются с изменением номера шага.

Отметим, что переход системы из одного состояния в другое в последовательных опытах может происходить непосредственно либо пошагово:

(11.21)

В этом выражении верхний индекс указывает число шагов, за которые система из состояния переходит в состояние .

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих свойства цепей маркова и матрицы переходных вероятностей.

ПРИМЕР 4: Имеется конечная марковская цепь с соответствующей матрицей вероятностей переходов

.

Анализ данной матрицы переходных вероятностей свидетельствует о том, что не для каждого состоянии существует отличная от нуля вероятность перехода в другое состояние. Более того, для данной системы существует тупиковое состояние, из которого ни в какое другое состояние перейти невозможно.

Класс эквивалентности (множество состояний) это класс, в котором для каждой пары состояний существует отличная от нуля вероятность перехода из одного состояния в другое.

У нас три класса эквивалентности:

1. 

2. 

3. 

Рассмотрим переходы из первого класса эквивалентности во второй и третий. Обратный переход невозможен. Поэтому первый класс называется устойчивым.

Второй и третий классы находятся в равновесии и являются замкнутыми, то есть если система перешла в один из этих классов, то переход в другой класс невозможен. Эти два класса называются эргодическими классами эквивалентностей. Третий класс имеет единственное эргодическое состояние, называемое поглощающим. Марковская цепь, в которой каждое эргодическое состояние является поглощающим, называется поглощающей цепью.

ПРИМЕР 5: «Случайное блуждание».

Рассмотрим случайное блуждание частицы по целочисленным значениям действительной оси (прямой). Частица на каждом шаге с вероятностью p смещается на +1 и с вероятностью q = 1 – p смещается на –1.

РЕШЕНИЕ: Пусть ξ(n) – положение частицы через n – шагов, тогда последовательность ξ(0), ξ(1), ξ(2), … образует марковскую цепь. Если частица находится в какой-то точке i, то ее дальнейшее поведение не зависит от обстоятельств, предшествующих попаданию в точку i. За последующие n шагов частица с вероятностью переходит в соответствующее состояние j. Отметим очевидные свойства:

• При |i – j| > n переход из состояния i в состояние j невозможен, и тогда .

• За n шагов частица может перейти лишь в те состояния j, для которых выражение |i – j| имеет ту же четность, что и n. Переход возможен только в те состояния, для которых число m является целым:

• Если , то попасть в состояние j можно тогда и только тогда, когда из всех n шагов ровно m шагов совершается в положительном направлении. Вероятность этого события вычислим по формуле Бернулли:

• Аналогично вычислим вероятность перехода из i в j, если :