11.2. Основные характеристики случайного процесса

Для случайного процесса вводятся простейшие характеристики, аналогичные основным характеристикам случайных величин. Известно, что полная характеристика случайного процесса дается его многомерным (конечномерным) законом распределения. Однако знание основных характеристик может оказаться достаточным для решения многих задач. Следует при этом учесть, что отличие от числовых характеристик СВ, представляющих собой определенные числа, характеристики СП представляют собой, как правило, не числа, а функции.

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция , которая для любого , будет определяться как математическое ожидание соответствующего сечения:

(11.1)

Свойства математического ожидания сп

1. Математическое ожидание неслучайной функции равно самой функции:

(11.2)

2. Неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания СП:

(11.3)

3. Математическое ожидание суммы (разности) двух СП равно сумме (разности) математических ожиданий этих процессов:

(11.4)

ПРИМЕР 1: Случайный процесс определяется формулой где – СВ, распределенная по нормальному закону с . Необходимо найти математическое ожидание СП .

РЕШЕНИЕ: Так как плотность гауссова распределения нам известна, то задача сводится к взятию соответствующего интеграла. Однако значительно проще решить задачу, используя свойство математического ожидания СП (11.3): .

Центрированным случайным процессом называется процесс, который равен разности СП и его математического ожидания .

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция , которая при любом значении аргумента определяется как дисперсия соответствующего сечения случайного процесса :

(11.5)

Дисперсия характеризует разброс (рассеяние) возможных значений СП относительно его математического ожидания.

Наряду с дисперсией рассматривается также среднее квадратическое отклонение , определяемое равенством:

(11.6)

Размерность среднего квадратического отклонения СП равна размерности СП .

Свойства дисперсии сп

1. Дисперсия неслучайной функции равна нулю:

(11.7)

2. Дисперсия СП неотрицательна:

(11.8)

3. Дисперсия произведения неслучайной функции на случайную функцию равна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию случайной функции:

(11.9)

4. Дисперсия суммы (разности) СП и неслучайной функции равна дисперсии СП:

(11.10)

ПРИМЕР 2: Используя условие ПРИМЕРА 1, найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение СП.

РЕШЕНИЕ: Используя свойство (11.9) и учитывая, что вычислим:

Для оценки связи между различными сечениями СП используется корреляционная функция – аналог ковариации.

Корреляционной (ковариационной, автоковариационной, автокорреляционной) функцией СП называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений и равна корреляционному моменту (ковариации) соответствующих сечений и :

(11.11)