Раздел 3. Случайные процессы Глава 11. Основные понятия и модели случайных процессов

Теория случайных процессов имеет многочисленные применения в задачах прогнозирования, теории (процессах) массового обслуживания, финансовой математике, прикладной статистике и социальных науках.

Случайным процессом будем называть функцию от действительного параметра , значения которой при каждом являются случайными величинами. Другими словами, случайной функцией называют случайную величину (СВ), зависящую от неслучайного аргумента .

Закономерности случайного процесса , , определяются совместными распределениями вероятностей его значений , при различных , …, (они называются конечномерными распределениями данного случайного процесса). Каждое значение случайного процесса, являясь случайной величиной, формально зависит от элементарного исхода .

При фиксированном значении , то есть при , случайный процесс обращается в СВ , называемую сечением случайного процесса (рис. 11.1).

Рис.11.1. Сечение случайного процесса

Реализацией или траекторией случайного процесса называется неслучайная функция времени при фиксированном , то есть конкретный вид, принимаемый случайным процессом (СП) в результате испытания. Реализации СП обозначают где индекс соответствует номеру опыта.

11.1. Классификация случайных процессов

Случайный процесс, протекающий в любой физической системе , представляет собой случайные переходы системы из одного состояния в другое.

Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени , число которых конечно или счетно.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.

Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина.

В зависимости от множества этих состояний , от множества значений аргумента все случайные процессы делят на классы:

1. Дискретный процесс (дискретное состояние) с дискретным временем.

2. Дискретный процесс с непрерывным временем.

3. Непрерывный процесс (непрерывное состояние) с дискретным временем.

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем.

Рассмотрим несколько примеров СП, относящихся к различным классам:

• Почтовая программа на персональном компьютере в дискретные моменты времени ( ) загружает с почтового сервера новые письма. Случайный процесс количество полученных писем относится к первому классу.

• Счет забитых мячей в теннисном матче – СП второго класса.

• Автоматическая метеостанция в фиксированные моменты времени передает данные о температуре – СП третий класс.

• Самописец, фиксирующий высоту, на борту самолета – пример СП четвертого класса.