10.2. Ошибки проверки гипотез
При проверке гипотезы возможны два типа ошибок.
Во-первых, гипотеза может быть отклонена, хотя фактически она верна. Такая ошибка называется ошибкой первого рода.
Во-вторых, гипотеза может быть принята, хотя фактически она неверна. Такая ошибка называется ошибкой второго рода.
Проиллюстрируем эти понятия графически (рис. 10.3).
Рис. 10.3. Определение ошибки первого и второго рода при проверке гипотез
Из рисунка видно, что ошибка первого рода происходит в том случае, когда при справедливости гипотезы значение попадает в область ее отклонения (критическую область). Следовательно, вероятность ошибки первого рода равна -уровню значимости критерия.
Для
определения вероятности ошибки второго
рода предположим, к примеру, что истинный
параметр равен либо
,
либо
(см.
рис. 10.3). Если гипотеза состоит в том,
что
,
тогда как на самом деле
,
то вероятность того, что
попадает в область принятия гипотезы,
заключенную между
и
равна
.
Следовательно, вероятность ошибки
второго рода равна
при выявлении отклонения величиной
от гипотетического значения
.
Вероятность
называется мощностью
критерия.
Следует
отметить, что вероятности ошибок первого
и второго рода вычисляются при разных
предположениях о распределении (если
верна гипотеза
и если верна гипотеза
),
так что никаких раз и навсегда фиксированных
соотношений (например
,
независимо от вида гипотезы и вида
критерия) между ними нет. Таким образом,
при фиксированном объеме выборки
мы можем сколь угодно уменьшать ошибку
первого рода, уменьшая уровень значимости
.
При этом, естественно, возрастает
вероятность
ошибки второго рода (уменьшается мощность
критерия). Единственный способ одновременно
уменьшить ошибки первого и второго рода
и
– увеличить размер выборки
.
Именно такие соображения лежат в основе
выбора нужного размера выборки в
статистических экспериментах.
ПРИМЕР 1: Построение критерия проверки гипотез
Предположим,
что среднее значение СВ
равно
,
также предположим, что дисперсия известна
и равна
.
Необходимо найти объем выборки
,
позволяющий построить критерий проверки
гипотезы
с 5%-уровнем значимости и 5%-ошибкой
второго рода для выявления 10%-отклонений
от гипотетического значения. Построим
также область принятия гипотезы
.
РЕШЕНИЕ: Выборочное
среднее
,
определяемое формулой (8.6), является
несмещенной оценкой
.
Соответствующее выборочное распределение
определяется из соотношения (9.7):
(10.1)
где
имеет распределение
.
Верхняя и нижняя границы области принятия
гипотезы соответственно равны:
(10.2)
Если
теперь истинное среднее значение равно
,
то с вероятностью
произойдет ошибка второго рода, если
выборочное среднее
окажется меньше (левее) верхней границы
и больше (правее) нижней. В терминах
выборочного распределения
со средним
или
для верхней и нижней границ (см. рис.
10.3):
(10.3)
Итак, справедливы следующие равенства:
(10.4)
Вспомним, что благодаря симметричности распределения справедливы равенства:
(10.5)
Теперь из (10.4) с учетом (10.5) найдем требуемый объем выборки:
(10.6)
Для
конкретных значений данного примера:
Подставим эти значения в (10.6) и получим
значение необходимого объема выборки
.
Таким образом, объем выборки должен
быть равен или больше пятидесяти двух.
Область принятия гипотезы
определяется соответствующими границами
(верхней и нижней (10.2)):
