9.1. Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии

Пусть СВ имеет гауссово распределение с параметрами , причём неизвестно, а значение известно. Тогда эффективной оценкой параметра будет .

При этом имеет нормальное распределение .

Статистика (оценка) СВ имеет распределение , независимо от параметра и как функция непрерывна и монотонна. Вспомним, что . Тогда, с учетом (9.2) запишем:

(9.6)

Здесь и квантили стандартного нормального распределения , причем: . Подставим в явном виде в (9.6):

(9.7)

Запишем это неравенство относительно :

(9.8)

Квантили стандартного нормального распределения определяются по таблицам, тогда окончательно получим:

(9.9)

Искомый доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с известной дисперсией равен:

(9.10)

На рис.9.1 представлена плотность распределения стандартного нормального распределения с отмеченными квантилями .

Рис. 9.1. Гауссово распределение ( )

9.2 Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии

На практике почти всегда генеральная дисперсия , (как и оцениваемое математическое ожидание ) неизвестна. Итак, имеется нормально распределенная СВ , с неизвестными параметрами и . По случайной выборке найдем несмещённые, эффективные оценки: . Построение интервальной оценки основано на статистике:

(9.11)

Вспомним, что , и подставим в (9.11):

(9.12)

Числитель выражения (9.12), как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение . Показано, что величина имеет распределение с степенями свободы. А статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Распределение Стьюдента не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины , а зависит лишь от числа .

Следует отметить, что распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и при сколь угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений (вариантов) случайной величины минус число уравнений , связывающих эти наблюдения, то есть .

Так, например, для распределения статистики число степеней свободы , так как одна степень свободы "теряется" при определении выборочного среднего ( наблюдений связаны одним уравнением).

Таким образом, по аналогии с (9.6) запишем:

. (9.13)

(9.14)

(9.15)

На рис.9.2 представлена плотность распределения Стьюдента с пятнадцатью степенями свободы.

Доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ с неизвестной дисперсией равен:

(9.16)

Рис. 9.2. Распределение Стьюдента ( )

9.3. Интервальная оценка выборочной дисперсии

Доверительный интервал для оценки дисперсии по выборочной дисперсии для СВ строится аналогичным образом. Естественно, что в качестве математического ожидания и дисперсии гауссовой СВ мы возьмем их несмещённые и эффективные оценки: . Исходя из вышесказанного, запишем:

(9.17)

(9.18)

Это интервал, который с вероятностью накрывает неизвестную дисперсию. Из статистики известно, что если СВ имеет гауссово распределение , а СВ , то справедливо соотношение:

(9.19)

Здесь хи-квадрат распределения с степенями свободы. Теперь, задавая или, что равносильно , можно найти квантили (соответствующие) . При этом следует учесть, что распределение не симметрично (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Распределение

Как же решить эту задачу однозначно? Ведь сдвигая интервал влево или вправо соответствующим образом, можно для заданной доверительной вероятности найти бесконечное множество решений (интервалов). Для обеспечения единообразия условились выбирать такие квантили (интервал), чтобы площадь под кривой, лежащая левее левой квантили, равнялась площади под кривой, расположенной правее правой квантили:

(9.20)

Тогда из (9.19), учитывая (9.20), получим соответствующие границы интервала:

(9.21)

ПРИМЕР 1: Дана выборка СВ объемом . Предполагается, что СВ распределена нормально с неизвестными параметрами .

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1.2	2.4	1.3	1.3	0.0	1.0	1.8	0.8	4.6	1.4

Необходимо найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности равной 0.97.

РЕШЕНИЕ: В качестве несмещенных и эффективных оценок вычислим:

a) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, если дисперсия известна (полагаем, что ). Тогда из таблицы нормального распределения получим . Подставим полученные значения в (9.9 и 9.10):

b) Вычислим доверительный интервал для математического ожидания, при неизвестной дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Соответствующие квантили равны . Подставим полученные значения в (9.15 и 9.16):

c) Вычислим доверительный интервал для дисперсии. Воспользуемся таблицей распределения . Симметричный 97% вероятностный интервал с числом степеней свободы: (2.33, 20.5). Подставив полученные значения в (9.21), получим: