8.2. Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот (частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами, или относительными частотами.

ПРИМЕР 2: Задана выборка объемом с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

	2	6	12
	3	10	7
	3/20	10/20	7/20

Контроль: .

Пусть исследуется статистическое распределение частот количественного признака (случайной величины) . Введем обозначение:

число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее ;

общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события равна .

Статистической функцией распределения случайной величины называется функция, определяющая для каждого значения относительную частоту события

(8.5)

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события ,то есть стремится по вероятности к вероятности этого события.

Функция обладает теми же свойствами, что и :

1. Значения .

2. Эмпирическая функция распределения неубывающая.

3. Если наименьшая варианта, то при .

4. Если наибольшая варианта, то при .

ПРИМЕР 3: Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

	2	6	10
	12	18	30

РЕШЕНИЕ: Найдем объем выборки . Теперь найдем статистическую функцию распределения:

	2	6	10	>10
	0	12 / 60	30 / 60	1

Представим в аналитическом и графическом виде:

Рис. 8.4. Статистическая функция распределения (гистограмма)

8.3. Выборочные значения и оценка параметров.

Рассмотрим один из возможных методов оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины по независимым наблюдением:

(8.6)

(8.7)

Здесь и – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Индекс в формуле (см. 8.7) указывает на смещённость оценки дисперсии. Наряду с вышеприведенными характеристиками, при обработке результатов наблюдений обычно находят следующие оценки:

• выборочная дисперсия (несмещённая)

(8.8)

• среднее квадратическое отклонение

(8.9)

• выборочный коэффициент асимметрии

(8.10)

• выборочный коэффициент эксцесса

(8.11)

Для установления качества или "правильности" любой оценки используются свойства (требования) "хороших оценок".