7.2. Теорема Чебышева

Пусть имеется СВ . Над этой величиной производится независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и дисперсию. В результате первого опыта СВ приняла значение , во втором опыте – ,..., в – ом опыте – .

Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:

(7.5)

СВ линейная функция независимых случайных величин . Определим:

(7.6)

(7.7)

Таким образом не зависит от числа опытов , а дисперсия при больших может стать сколь угодно малой, то есть СВ ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Говорят что СВ сходится по вероятности к величине , если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

(7.8)

где и – произвольно малые положительные числа. Запишем аналогично теорему Чебышева:

. (7.9)

Доказательство Ранее было показано, что для Применим к СВ неравенство Чебышева:

(7.10)

Как бы ни было мало , всегда можно взять такое большое , чтобы выполнялось неравенство: , где сколь угодно малое число. Тогда получим:

. (7.11)

Запишем вероятность события противоположного (7.11)

(7.12)

Что и требовалось доказать.

7.3. Обобщенная теорема Чебышева

Пусть независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями: И если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом таким, что то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

. (7.13)

Доказательство Рассмотрим СВ , с соответствующими характеристиками: . Применим к СВ неравенство Чебышева

, или

. (7.14)

Как бы ни было мало , можно так выбрать , что будет выполняться неравенство . Тогда получим:

. (7.15)

Перейдем к противоположному событию:

. (7.16)

Что и требовалось доказать.

7.4. Теорема Маркова

Если имеются зависимые СВ и, если при справедливо соотношение то среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство Рассмотрим величину . Применим к величине неравенство Чебышева:

Так как по условию теоремы при , то при достаточно большом справедливо , или переходя к противоположному событию:

. (7.17)

Что и требовалось доказать.

7.5. Теорема Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , вероятность которого в каждом опыте равна . Теорема Бернулли утверждает, что: при неограниченном увеличении числа опытов частота события сходится по вероятности к его вероятности .

Обозначим частоту события в опытах через и запишем теорему Бернулли в виде формулы:

(7.18)

где и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется доказать неравенство (7.18) при достаточно большом .

Доказательство: Рассмотрим независимые случайные величины:

число появления события в первом опыте;

число появления события во втором опыте;

..........................................................................................

Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения; выраженный рядом распределения:

		1

Здесь . Нетрудно показать, что . Частота не что иное, как среднее арифметическое величин , то есть . Тогда согласно закону больших чисел сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих величин.