6.2. Распределение ("хи–квадрат")

Так называется распределение вероятностей СВ вида:

(6.18)

где независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с параметрами . Число называется числом степеней свободы распределения . Соответствующая плотность (см. рис.6.4) описывается формулой:

(6.19)

Рис. 6.4. Распределение "хи-квадрат"

Распределение представляет собой частный случай так называемого гамма – распределения.

6.3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

В теории массового обслуживания случайные процессы часто распределены по показательному закону, например, время обслуживания требования каналом обслуживания.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

(6.20)

Здесь постоянная положительная величина. Таким образом, показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

(6.21)

Итак,

(6.22)

На рис. 6.5 и 6.6 представлена плотность распределения и интегральная функция распределения СВ, распределенной по показательному закону.

Рис. 6.5. Дифференциальная функция показательного распределения ( )

Рис. 6.6. Интегральная функция показательного распределения ( )

6.3.1 Числовые характеристики показательного распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

(6.23)

Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

(6.24)

Так как , то остается вычислить :

(6.25)

Подставив (6.25) в (6.24), окончательно получим:

(6.26)

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

ПРИМЕР 3: Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

РЕШЕНИЕ: a) Плотность распределения имеет вид:

b) Соответствующая интегральная функция равна:

ПРИМЕР 4: Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону.

РЕШЕНИЕ: Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (6.22) получим:

6.3.2. Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

. (6.27)

Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события:

. (6.28)

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

. (6.29)

Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (6.28) функция надежности будет равна:

. (6.30)

ПРИМЕР 5: Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

РЕШЕНИЕ: В нашем примере , тогда воспользуемся выражением (6.30): .

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов).

Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (6.30), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

(6.31)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

(6.32)

Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая выражения (6.31) и (6.32) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".