6.1.1. Вероятность попадания на интервал

Рассмотрим вероятность попадания на интервал СВ , подчиненной нормальному закону распределения с параметрами и . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

(6.11)

где интегральная функция распределения СВ . Найдем

(6.12)

Сделаем замену переменных в (6.12)

(6.13)

Отметим, что этим преобразованием (заменой переменных) нормальное распределение с произвольными значениями и приводится к стандартному нормальному закону с параметрами .

Интеграл (6.13) не выражается через элементарные функции, но его обычно выражают через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от или (так называемый интеграл вероятности, для которого составлены статистические таблицы).

Вообще существует множество разновидностей таких функций, например:

(6.14)

Выберем в качестве такой функции, так называемую нормальную функцию распределения . Выразим функцию распределения (6.13) через :

(6.15)

Подставим теперь (6.15) в (6.11) и окончательно получим:

(6.16)

6.1.2. Свойства нормальной функции распределения

1.

2.

3. функция неубывающая.

4. Из-за симметричности стандартного нормального распределения относительно начала координат следует (см. рис. 6.2):

На практике очень часто встречается задача вычисления вероятности попадания СВ на участок симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длиной . Вычислим эту

Рис.6.2. Стандартное распределение

вероятность:

(6.17)

Часто расстояние выражают в единицах . На рис. 6.3 для стандартного нормального распределения показаны вероятности (односторонние) отклониться от математического ожидания на .

Рис.6.3. Свойства нормального закона

ПРИМЕР 1: Полагаем, что рост студентов – нормально распределенная случайная величина с параметрами и Необходимо найти:

1. выражение плотности вероятности и функции распределения СВ ;

2. доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста(170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства;

3. квантиль и 10%-ную точку СВ ;

4. сформулировать "правило трех сигм" для СВ .

РЕШЕНИЕ: a) По формулам (6.1), (6.12) и (6.15) запишем

b) Долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см) в общем объеме производства определим по формуле (6.16):

Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно определить аналогичным образом, но, если учесть, что данный интервал симметричен относительно , то по формуле (6.17) оценим:

c) Квантиль СВ найдем из уравнения (6.15):

Это значит, что 70% студентов имеют рост до 176 см. 10%-ная точка СВ – это квантиль , который, вычислив аналогично, получим .

d) "Правило трех сигм" для нормального распределения:

.

Тогда с вероятностью равной 0.9974 рост студентов находится в интервале:

ПРИМЕР 2: Средняя стоимость ценной бумаги составляет 2000 руб., а среднее квадратичное отклонение равно 100 руб. Предполагается, что цена имеет нормальное распределение. Определить вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 1800 руб. до 2300 руб. Найти с надежностью 0.9 интервал Δ изменения цены бумаги, симметричный относительно математического ожидания.

РЕШЕНИЕ : a)

b)

Значит стоимость ценной бумаги заключена в интервале (1835.5; 2164.5) рублей.