5.2.1. Условная плотность распределения

Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами и , и устремим и к нулю (см. рис. 5.3).

Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу

Рис. 5.3. Вероятность попадания в прямоугольник

п олосу равную на вероятность попасть в полосу при условии, что аргумент попал в полосу – . В связи с тем, что аргументы и равносильны, запишем:

. (5.19)

Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:

(5.20)

Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если безусловная плотность распределения этой величины равна условной плотности распределения:

(5.21)

В этом случае говорят, что случайные величины и статистически независимы.

При независимости случайных величин и плотность распределения двумерной СВ (5.19) равна произведению плотностей соответствующих одномерных СВ, а интегральная функция распределения двумерной СВ равна произведению одномерных функций:

(5.22)

5.3. Числовые характеристики системы случайных величин

По аналогии с одномерными СВ, для двумерной случайной величины введем выражения для начального и центрального моментов:

(5.23)

Если говорим о моменте го порядка двумерной СВ, то это значит, что суммируются индексы: .

Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо указать любые два числа из трех: , и . Рассмотрим подробнее:

(5.24)

Как видим, для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий (смешанный центральный момент второго порядка):

(5.25)

Для дискретной СВ:

(5.26)

Для непрерывной СВ:

(5.27)

Теорема Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство Докажем эту теорему для непрерывных СВ. Пусть и независимые случайные величины, тогда согласно (5.22) . Подставим это в выражение (5.27)

(5.28)

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки . Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий:

(5.29)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

(5.30)

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от степени разброса, так как функция нормирована на меру разброса .

ПРИМЕР 3: Имеются линейно зависимые случайные величины и : . Необходимо вычислить коэффициент корреляции.

РЕШЕНИЕ: Пусть для заданной СВ известно, что . Тогда, учитывая свойства математического ожидания и дисперсии, вычислим математическое ожидание и дисперсию СВ :