5.1.1. Свойства двумерной функции распределения

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, то есть

. (5.3)

Это утверждение базируется на том, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция, по каждому из аргументов:

(5.4)

Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис.5.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , функция распределения равна нулю:

(5.5)

Функция распределения в данных случаях равна нулю, так как события и их произведение представляют невозможные события.

4. Если один из аргументов равен , двумерная функция распределения становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

(5.6)

где . Очевидность данного свойства (5.6) вытекает из того свойства, что произведение события и достоверного события есть само событие , аналогично можно показать и для .

5. Если оба аргумента равны , то функция распределения равна единице:

. (5.7)

Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий и есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник (см. рис. 5.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

. (5.8)

Рис.5.2. Вероятность попадания в прямоугольник

Зная функцию распределения , выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной , минус вероятности попадания в квадранты с вершинами и плюс вероятность попадания в квадрант (так как эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим:

(5.9)

5.2. Плотность вероятности двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.

Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника . Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, устремив и к нулю. С учетом (5.9) получим:

(5.10)

Учитывая то, что функция непрерывна и дифференцируемая по каждому аргументу, выражение (5.10) примет вид:

(5.11)

Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения:

(5.12)

Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:

1. Плотность распределения двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, то есть

(5.13)

Это свойство вытекает из того, что – функция неубывающая по каждому аргументу.

2. Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область равна

(5.14)

По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ введем понятие "элемент вероятности", равный . Он представляет (с точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами и . Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область на плоскости геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область , а аналитически – двойным интегралом (5.14).

3. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины выражается через ее плотность вероятности по формуле:

(5.15)

Функция распределения есть вероятность попадания в бесконечный квадрант , который можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами и и ординатами и .

4. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице.

(5.16)

Несобственный интеграл (5.16) есть вероятность попадания во всю плоскость , а вероятность достоверного события, равна 1.

Зная плотность вероятности двумерной СВ можно найти функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных составляющих и . Учитывая (5.6) и (5.15), получим:

(5.17)

Дифференцируя функции распределения и по аргументам и соответственно, получим плотности вероятности одномерных СВ:

(5.18)

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу дает плотность вероятности , а по аргументу – плотность вероятности .

ПРИМЕР 1: Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y	X
	3	10	12
4	0.17	0.13	0.25
5	0.10	0.30	0.05

Требуется: a) найти законы распределения составляющих и ; b) составить функцию распределения.

РЕШЕНИЕ: а) Сложив вероятности “по столбцам”, найдем закон распределения составляющей :

X	3	10	12	>12
P	0.27	0.43	0.3
F	0	0.27	0.7	1

Сложив вероятности "по строкам", аналогично найдем закон распределения составляющей :

Y	4	5	>5
P	0.55	0.45
F	0	0.55	1

b) Составим функцию распределения:

Y	X
	3	10	12	>12
4	0	0	0	0
5	0	0.17	0.30	0.55
>5	0	0.27	0.7	1

ПРИМЕР 2: (Задача Бюффона)

Иглу длиной бросают на плоскость, на которой на расстоянии друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность пересечения иглой одной из линий, если .

Р ЕШЕНИЕ: Введем систему случайных величин , где расстояние от середины иглы до ближайшей линии, а острый угол между иглой и линией (см. рис.). Очевидно, что расстояние распределено равномерно в интервале , а угол распределен равномерно в интервале . Учитывая, что СВ и независимые, получим при . Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном угле , если . Отсюда получим искомую вероятность: